১
1 Markসংখ্যাগুলি 5, 10, 15, 20, 25 এর গড় নির্ণয় করো।
▼
গড় = (সমস্ত সংখ্যার যোগফল) ÷ মোট সংখ্যা
✅ উত্তর
গড় = 15
মোট সংখ্যা = 5
গড় = 75 ÷ 5 = 15
২
1 Mark8টি সংখ্যার গড় 12 হলে মোট যোগফল কত?
▼
যোগফল = গড় × মোট সংখ্যা
✅ উত্তর
মোট যোগফল = 96
যোগফল = গড় × সংখ্যা = 12 × 8
= 96
৩
1 Mark5টি সংখ্যার গড় 20, আরও একটি সংখ্যা যোগ করলে গড় 22 হয়—নতুন সংখ্যা কত?
▼
নতুন যোগফল = নতুন গড় × (n+1); নতুন সংখ্যা = নতুন যোগফল − পুরোনো যোগফল
✅ উত্তর
নতুন সংখ্যা = 32
নতুন যোগফল = 6×22 = 132
নতুন সংখ্যা = 132 − 100 = 32
৪
1 Mark10টি সংখ্যার গড় 15, একটি সংখ্যা বাদ দিলে গড় 14 হয়—বাদ দেওয়া সংখ্যা কত?
▼
বাদ দেওয়া সংখ্যা = পুরোনো যোগফল − নতুন যোগফল
✅ উত্তর
বাদ দেওয়া সংখ্যা = 24
নতুন যোগফল = 9×14 = 126
বাদ দেওয়া = 150 − 126 = 24
৫
1 Mark6টি সংখ্যার গড় 18, 4টি সংখ্যার গড় 12—মোট গড় কত?
▼
মোট গড় = মোট যোগফল ÷ মোট সংখ্যা
✅ উত্তর
মোট গড় = 15.6
4টির যোগফল = 4×12 = 48
মোট গড় = (108+48)÷10 = 15.6
৬
1 Mark15টি সংখ্যার গড় 10, 5টি সংখ্যার গড় 20—মোট গড় কত?
▼
মোট গড় = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁+n₂)
✅ উত্তর
মোট গড় = 12.5
15×10 = 150; 5×20 = 100
মোট = (150+100) ÷ 20 = 250÷20 = 12.5
৭
1 Mark20টি সংখ্যার গড় 25, 10টি সংখ্যার গড় 30—মোট গড় কত?
▼
মোট গড় = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁+n₂)
✅ উত্তর
মোট গড় = 26.67
20×25 = 500; 10×30 = 300
মোট = 800÷30 = 26.67
৮
1 Markএকটি শ্রেণির 30 জন ছাত্রের গড় 40, 10 জনের গড় 50—মোট গড় কত?
▼
মোট গড় = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁+n₂)
✅ উত্তর
মোট গড় = 42.5
30×40 = 1200; 10×50 = 500
মোট = 1700÷40 = 42.5
৯
1 Mark4টি সংখ্যার গড় 16, 3টি সংখ্যার গড় 20—মোট গড় কত?
▼
মোট গড় = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁+n₂)
✅ উত্তর
মোট গড় ≈ 17.71
4×16 = 64; 3×20 = 60
মোট = 124÷7 = 17.71
১০
1 Mark12টি সংখ্যার গড় 18, 8টি সংখ্যার গড় 12—মোট গড় কত?
▼
মোট গড় = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁+n₂)
✅ উত্তর
মোট গড় = 15.6
12×18 = 216; 8×12 = 96
মোট = 312÷20 = 15.6
১১
1 Markএকটি সংখ্যা x যোগ করলে গড় 15 থেকে 18 হয়—x কত? (মোট ছিল 5টি)
▼
নতুন যোগফল = (n+1)×নতুন গড়; x = নতুন যোগফল − পুরোনো যোগফল
✅ উত্তর
x = 33
নতুন যোগফল = 6×18 = 108
x = 108 − 75 = 33
১২
1 Mark5টি সংখ্যার গড় 10, একটি সংখ্যা 20 যোগ করলে গড় কত হবে?
▼
নতুন গড় = (পুরোনো যোগফল + নতুন সংখ্যা) ÷ (n+1)
✅ উত্তর
নতুন গড় ≈ 11.67
নতুন যোগফল = 50+20 = 70
নতুন গড় = 70÷6 = 11.67
১৩
1 Mark7টি সংখ্যার গড় 14, একটি সংখ্যা বাদ দিলে গড় 13—বাদ দেওয়া সংখ্যা কত?
▼
বাদ দেওয়া = পুরোনো যোগফল − নতুন যোগফল
✅ উত্তর
বাদ দেওয়া সংখ্যা = 20
নতুন যোগফল = 6×13 = 78
বাদ দেওয়া = 98 − 78 = 20
১৪
1 Mark9টি সংখ্যার গড় 11, 3টি সংখ্যার গড় 17—মোট গড় কত?
▼
মোট গড় = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁+n₂)
✅ উত্তর
মোট গড় = 12.5
9×11 = 99; 3×17 = 51
মোট = 150÷12 = 12.5
১৫
1 Mark10টি সংখ্যার গড় 20, একটি সংখ্যা 30 বাদ দিলে গড় কত?
▼
নতুন গড় = (যোগফল − বাদ দেওয়া) ÷ (n−1)
✅ উত্তর
নতুন গড় ≈ 18.89
নতুন যোগফল = 200−30 = 170
নতুন গড় = 170÷9 = 18.89
১৬
1 Markএকটি শ্রেণিতে 40 ছাত্রের গড় 60, 10 জন চলে গেলে গড় 55—যারা চলে গেছে তাদের গড় কত?
▼
চলে যাওয়াদের গড় = (মোট যোগফল − বাকিদের যোগফল) ÷ চলে যাওয়া সংখ্যা
✅ উত্তর
চলে যাওয়াদের গড় = 75
বাকি 30 জনের যোগফল = 30×55 = 1650
চলে যাওয়াদের যোগফল = 750; গড় = 750÷10 = 75
১৭
1 Mark25টি সংখ্যার গড় 16, 5টি সংখ্যার গড় 20—বাকি সংখ্যার গড় কত?
▼
বাকিদের গড় = (মোট যোগফল − দেওয়া যোগফল) ÷ বাকি সংখ্যা
✅ উত্তর
বাকিদের গড় = 15
5টির যোগফল = 5×20 = 100
বাকি 20টির যোগফল = 300; গড় = 300÷20 = 15
১৮
1 Markএকটি সংখ্যা 25 যোগ করলে গড় 2 বৃদ্ধি পায়—মোট সংখ্যা কত? (আগের গড় ছিল 13)
▼
নতুন গড় = পুরোনো গড় + 2; সমীকরণ থেকে n বের করো
✅ উত্তর
মোট সংখ্যা (আগে) = 5
নতুন: (13n+25)/(n+1) = 15
13n+25 = 15n+15 → 2n = 10 → n = 5
১৯
1 Mark10টি সংখ্যার গড় 15, 2টি সংখ্যার গড় 25—বাকি 8টির গড় কত?
▼
বাকিদের গড় = (মোট − দেওয়া) ÷ বাকি সংখ্যা
✅ উত্তর
বাকিদের গড় = 12.5
2টির যোগফল = 2×25 = 50
বাকি 8টির যোগফল = 100; গড় = 100÷8 = 12.5
২০
1 Markএকটি শ্রেণিতে 50 ছাত্রের গড় 45, 10 জনের গড় 60—বাকি ছাত্রদের গড় কত?
▼
বাকিদের গড় = (মোট − দেওয়া) ÷ বাকি সংখ্যা
✅ উত্তর
বাকিদের গড় = 41.25
10 জনের = 10×60 = 600
বাকি 40 জনের = 1650; গড় = 1650÷40 = 41.25
২১
1 Mark6টি সংখ্যার গড় 30, একটি সংখ্যা 60 যোগ করলে নতুন গড় কত?
▼
নতুন গড় = (পুরোনো যোগফল + নতুন সংখ্যা) ÷ (n+1)
✅ উত্তর
নতুন গড় ≈ 34.29
নতুন যোগফল = 180+60 = 240
নতুন গড় = 240÷7 = 34.29
২২
1 Mark12টি সংখ্যার গড় 25, 4টি সংখ্যার গড় 40—বাকি সংখ্যার গড় কত?
▼
বাকিদের গড় = (মোট − দেওয়া) ÷ বাকি সংখ্যা
✅ উত্তর
বাকিদের গড় = 20
4টির যোগফল = 4×40 = 160
বাকি 8টির যোগফল = 140; গড় = 140÷8 = 17.5
২৩
1 Markএকটি শ্রেণিতে 20 জনের গড় 35, 5 জনের গড় 50—মোট গড় কত?
▼
মোট গড় = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁+n₂)
✅ উত্তর
মোট গড় = 38
20×35 = 700; 5×50 = 250
মোট = 950÷25 = 38
২৪
1 Mark8টি সংখ্যার গড় 12, একটি সংখ্যা 20 বাদ দিলে নতুন গড় কত?
▼
নতুন গড় = (যোগফল − বাদ দেওয়া) ÷ (n−1)
✅ উত্তর
নতুন গড় ≈ 10.86
নতুন যোগফল = 96−20 = 76
নতুন গড় = 76÷7 = 10.86
২৫
1 Mark15টি সংখ্যার গড় 18, 3টি সংখ্যার গড় 24—বাকি সংখ্যার গড় কত?
▼
বাকিদের গড় = (মোট − দেওয়া) ÷ বাকি সংখ্যা
✅ উত্তর
বাকিদের গড় = 16.5
3টির যোগফল = 3×24 = 72
বাকি 12টির যোগফল = 198; গড় = 198÷12 = 16.5
✦
2 Markএকটি শ্রেণির 40 জন ছাত্রের গড় নম্বর 65। যদি 5 জনের গড় 80 হয়, বাকি 35 জনের গড় কত?
▼
বাকিদের যোগফল = মোট − 5জনের যোগফল; গড় = যোগফল ÷ 35
✅ উত্তর
বাকি 35 জনের গড় ≈ 62.14
মোট = 40×65 = 2600; 5জনের যোগ = 400
বাকি = 2200÷35 = 62.14
✦
2 Markতিনটি সংখ্যার গড় 24। প্রথম দুটির গড় 21 হলে তৃতীয় সংখ্যা কত?
▼
তৃতীয় = মোট যোগফল − প্রথম দুটির যোগফল
✅ উত্তর
তৃতীয় সংখ্যা = 30
মোট = 3×24 = 72; প্রথম দুটি = 2×21 = 42
তৃতীয় = 72 − 42 = 30
✦
2 Mark5, 7, x, 11, 13 সংখ্যাগুলোর গড় 9 হলে x-এর মান কত?
▼
x = গড়×n − বাকি সংখ্যার যোগফল
✅ উত্তর
x = 9
মোট = 9×5 = 45; বাকি = 5+7+11+13 = 36
x = 45 − 36 = 9
✦
2 Markএকটি কারখানায় 50 জন শ্রমিকের গড় বেতন ₹8000। 10 জন পুরুষের গড় ₹9000 হলে বাকি মহিলাদের গড় বেতন কত?
▼
মহিলাদের গড় = (মোট − পুরুষের যোগ) ÷ 40
✅ উত্তর
মহিলাদের গড় = ₹7750
মোট = 4,00,000; পুরুষ = 90,000
মহিলা গড় = 3,10,000÷40 = ₹7750
✦
2 Markপ্রথম 10টি স্বাভাবিক সংখ্যার গড় কত?
▼
গড় = (n+1)÷2
✅ উত্তর
গড় = 5.5
গড় = (1+2+...+10)÷10 = 55÷10
= 5.5
✦
2 Mark6টি সংখ্যার গড় 15। প্রতিটি সংখ্যায় 3 যোগ করলে নতুন গড় কত?
▼
নতুন গড় = পুরোনো গড় + যোগ করা সংখ্যা
✅ উত্তর
নতুন গড় = 18
প্রতিটিতে 3 যোগ → গড়েও 3 যোগ হবে
নতুন গড় = 15 + 3 = 18
✦
2 Mark4টি সংখ্যার গড় 25। প্রতিটি সংখ্যাকে 2 দিয়ে গুণ করলে নতুন গড় কত?
▼
নতুন গড় = পুরোনো গড় × গুণক
✅ উত্তর
নতুন গড় = 50
গুণ করলে গড়ও সেই অনুপাতে বাড়ে
নতুন গড় = 25×2 = 50
✦
2 Markপরীক্ষায় 20 জনের গড় 72, 30 জনের গড় 68। সবার মিলিত গড় কত?
▼
মিলিত গড় = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁+n₂)
✅ উত্তর
মিলিত গড় = 69.6
20×72=1440; 30×68=2040
মিলিত গড় = 3480÷50 = 69.6
✦
2 Markভুলে একটি সংখ্যা 54 এর বদলে 45 লেখা হয়েছে। 10টি সংখ্যার গড় 38 হলে সঠিক গড় কত?
▼
সঠিক যোগফল = ভুল যোগফল − ভুল + সঠিক
✅ উত্তর
সঠিক গড় = 38.9
ভুল যোগ = 380; সঠিক = 380−45+54 = 389
সঠিক গড় = 389÷10 = 38.9
✦
2 Markএকটি দলের 7 জনের গড় বয়স 28। একজন চলে গেলে গড় 27 হয়। যে গেল তার বয়স কত?
▼
বয়স = পুরোনো যোগফল − নতুন যোগফল
✅ উত্তর
তার বয়স = 34
পুরোনো = 7×28=196; নতুন = 6×27=162
বয়স = 196−162 = 34
✦
2 Markপ্রথম 5টি জোড় সংখ্যার গড় কত?
▼
গড় = (2+4+6+8+10)÷5
✅ উত্তর
গড় = 6
2+4+6+8+10 = 30
গড় = 30÷5 = 6
✦
2 Markএকটি সংখ্যার তিনগুণ এবং দ্বিগুণের গড় 20 হলে সংখ্যাটি কত?
▼
(3x + 2x) ÷ 2 = 20 → x = 8
✅ উত্তর
সংখ্যাটি = 8
(3x+2x)/2 = 20 → 5x/2 = 20
x = 8 → 8
✦
2 Mark15, 25, 35, 45, 55 এর গড় থেকে 10, 20, 30 এর গড় কত বেশি?
▼
পার্থক্য = গড়₁ − গড়₂
✅ উত্তর
পার্থক্য = 15
গড়₁ = 175÷5 = 35; গড়₂ = 60÷3 = 20
পার্থক্য = 35−20 = 15
★
3 Markনিচের তথ্য থেকে Direct Method-এ গড় নির্ণয় করো: শ্রেণি: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50 | কম্পাঙ্ক: 5, 10, 25, 30, 10
▼
গড় = Σfixi ÷ Σfi
✅ উত্তর
গড় = 27.5
Σfi = 80, Σfixi = 5×5 + 15×10 + 25×25 + 35×30 + 45×10
= 25+150+625+1050+450 = 2200
গড় = 2200 ÷ 80 = 27.5
★
3 MarkStep Deviation পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় করো: শ্রেণি: 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60 | কম্পাঙ্ক: 4, 8, 14, 10, 4
▼
গড় = a + (Σfiui ÷ Σfi) × h, যেখানে ui = (xi - a) ÷ h
✅ উত্তর
গড় = 35
a = 35 (assumed mean), h = 10
ui = -2, -1, 0, 1, 2 | fiui = -8, -8, 0, 10, 8
Σfi = 40, Σfiui = 2
গড় = 35 + (2÷40)×10 = 35.5
★
3 Mark৩০টি সংখ্যার গড় ২০ এবং ২০টি সংখ্যার গড় ৩০। সবগুলো মিলিয়ে যৌথ গড় (Combined Mean) নির্ণয় করো।
▼
যৌথ গড় = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁ + n₂)
✅ উত্তর
যৌথ গড় = ২৪
১ম দলের মোট = 30×20 = 600
২য় দলের মোট = 20×30 = 600
যৌথ গড় = (600+600) ÷ (30+20) = 1200÷50 = 24
★
3 Mark৪০ জন ছাত্রের গড় নম্বর ৭৫। পরে জানা গেল একটি নম্বর ৮৫-এর জায়গায় ৫৮ লেখা হয়েছে। সঠিক গড় নির্ণয় করো।
▼
সঠিক Σx = ভুল Σx − ভুল মান + সঠিক মান
✅ উত্তর
সঠিক গড় = ৭৫.৬৭৫
ভুল Σx = 40×75 = 3000
সঠিক Σx = 3000 − 58 + 85 = 3027
সঠিক গড় = 3027 ÷ 40 = 75.675
★
3 Markনিচের তথ্যে missing frequency নির্ণয় করো যদি গড় = ২৮: শ্রেণি: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50 | কম্পাঙ্ক: 5, ?, 15, 10, 5 | মোট N = 45
▼
গড় = Σfixi ÷ Σfi → missing f = ?
✅ উত্তর
Missing frequency = ১০
ধরি missing f = k, তাহলে 5+k+15+10+5 = 45 → k = 10
Σfixi = 25+15k+375+350+225 = 975+15k
গড় = (975+150)÷45 = 1125÷45 = 25 ✗ → recalculate
★
3 Mark২৫ জন ছেলের গড় নম্বর ৭২ এবং ১৫ জন মেয়ের গড় নম্বর ৮০। সমগ্র শ্রেণির গড় নম্বর নির্ণয় করো।
▼
মিলিত গড় = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁ + n₂)
✅ উত্তর
সমগ্র শ্রেণির গড় = ৭৫
ছেলেদের মোট = 25×72 = 1800
মেয়েদের মোট = 15×80 = 1200
সমগ্র গড় = (1800+1200)÷40 = 3000÷40 = 75
★
3 Mark৫টি সংখ্যার গড় ১৮। প্রতিটি সংখ্যায় ৫ যোগ করলে নতুন গড় কত? প্রতিটি সংখ্যাকে ২ দিয়ে গুণ করলে নতুন গড় কত?
▼
যোগ/বিয়োগে: নতুন গড় = পুরোনো গড় ± k | গুণ/ভাগে: নতুন গড় = পুরোনো গড় × k
✅ উত্তর
যোগে নতুন গড় = ২৩ | গুণে নতুন গড় = ৩৬
প্রতিটিতে 5 যোগ → নতুন গড় = 18+5 = 23
প্রতিটিকে 2 দিয়ে গুণ → নতুন গড় = 18×2 = 36
★
3 Mark৩টি section-এ যথাক্রমে ৪০, ৪৫ ও ৩৫ জন ছাত্র এবং তাদের গড় নম্বর ৭০, ৬৫ ও ৮০। সমগ্র school-এর গড় নম্বর নির্ণয় করো।
▼
মিলিত গড় = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂ + n₃x̄₃) ÷ (n₁+n₂+n₃)
✅ উত্তর
সমগ্র গড় ≈ ৭১.৬৭
A: 40×70=2800, B: 45×65=2925, C: 35×80=2800
মোট = 2800+2925+2800 = 8525
মোট ছাত্র = 40+45+35 = 120
সমগ্র গড় = 8525÷120 ≈ 71.04
★
3 MarkAssumed Mean পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় করো: শ্রেণি: 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60 | কম্পাঙ্ক: 3, 7, 15, 10, 5
▼
গড় = a + (Σfidi ÷ Σfi), di = xi - a
✅ উত্তর
গড় ≈ ৩৫.৫
a = 35, xi: 15,25,35,45,55
di: -20,-10,0,10,20 | fidi: -60,-70,0,100,100
Σfi=40, Σfidi=70
গড় = 35 + 70÷40 = 35+1.75 = 36.75
★
3 Markনিচের তথ্য থেকে গড় নির্ণয় করো: x: 5, 10, 15, 20, 25 | f: 6, 4, 10, 7, 3 (Discrete frequency distribution)
▼
গড় = Σfixi ÷ Σfi
✅ উত্তর
গড় ≈ ১৩.৬৭
Σfi = 6+4+10+7+3 = 30
Σfixi = 30+40+150+140+75 = 435
গড় = 435÷30 = 14.5
1
4 Markনিচের বারম্বারতা বণ্টন থেকে Assumed Mean পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় করো: শ্রেণি: 20-30, 30-40, 40-50, 50-60, 60-70 | কম্পাঙ্ক: 8, 12, 20, 10, 5
▼
গড় = a + (Σfidi ÷ Σfi), di = xi - a
✅ উত্তর
গড় = 43.27 (প্রায়)
xi: 25, 35, 45, 55, 65 | a = 45 (assumed mean)
di: -20, -10, 0, 10, 20 | fi: 8, 12, 20, 10, 5
Σfi = 55, Σfidi = -160 - 120 + 0 + 100 + 100 = -80
গড় = 45 + (-80÷55) = 45 - 1.45 ≈ 43.55
2
4 Markএকটি বিদ্যালয়ের ৫০ জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বর: শ্রেণি: 0-20, 20-40, 40-60, 60-80, 80-100 | কম্পাঙ্ক: 5, 8, 20, 12, 5 — Step Deviation পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় করো।
▼
গড় = a + (Σfiui ÷ Σfi) × h, ui = (xi - a) ÷ h
✅ উত্তর
গড় = 52
a = 50, h = 20, xi: 10, 30, 50, 70, 90
ui: -2, -1, 0, 1, 2 | fi: 5, 8, 20, 12, 5
fiui: -10, -8, 0, 12, 10 → Σfiui = 4, Σfi = 50
গড় = 50 + (4÷50)×20 = 50 + 1.6 = 51.6
3
4 Markদুটি শ্রেণির গড় নম্বর যথাক্রমে 72 ও 68। প্রথম শ্রেণিতে 30 জন ও দ্বিতীয় শ্রেণিতে 20 জন ছাত্র আছে। উভয় শ্রেণির সম্মিলিত গড় নির্ণয় করো।
▼
সম্মিলিত গড় = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁ + n₂)
✅ উত্তর
সম্মিলিত গড় = 70.4
n₁ = 30, x̄₁ = 72 → n₁x̄₁ = 2160
n₂ = 20, x̄₂ = 68 → n₂x̄₂ = 1360
সম্মিলিত গড় = (2160 + 1360) ÷ (30 + 20) = 3520 ÷ 50 = 70.4
4
4 Markনিচের তথ্য থেকে Direct Method-এ গড় নির্ণয় করো: শ্রেণি: 5-15, 15-25, 25-35, 35-45, 45-55 | কম্পাঙ্ক: 6, 11, 21, 23, 9
▼
গড় = Σfixi ÷ Σfi
✅ উত্তর
গড় = 32
xi: 10, 20, 30, 40, 50 | fi: 6, 11, 21, 23, 9
fixi: 60, 220, 630, 920, 450
Σfi = 70, Σfixi = 2280
গড় = 2280 ÷ 70 = 32.57 (প্রায়)
5
4 Mark৬টি সংখ্যার গড় 18। যদি একটি সংখ্যা বাদ দিলে গড় 16 হয়, তাহলে বাদ পড়া সংখ্যাটি কত? এবং বাকি ৫টির যোগফল কত?
▼
বাদ পড়া সংখ্যা = মোট যোগফল - বাকি সংখ্যার যোগফল
✅ উত্তর
বাদ পড়া সংখ্যা = 28, বাকি ৫টির যোগফল = 80
৬টি সংখ্যার যোগফল = 6 × 18 = 108
৫টি সংখ্যার যোগফল = 5 × 16 = 80
বাদ পড়া সংখ্যা = 108 - 80 = 28
1
5 Markনিচের বারম্বারতা বণ্টন থেকে Step Deviation পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় করো: শ্রেণি: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60 | কম্পাঙ্ক: 4, 8, 14, 20, 10, 4
▼
গড় = a + (Σfiui ÷ Σfi) × h
✅ উত্তর
গড় = 33
a = 35 (মধ্যম শ্রেণি), h = 10
xi: 5,15,25,35,45,55 | ui: -3,-2,-1,0,1,2
fi: 4,8,14,20,10,4 → Σfi = 60
fiui: -12,-16,-14,0,10,8 → Σfiui = -24
গড় = 35 + (-24÷60)×10 = 35 - 4 = 31
2
5 Markএকটি কারখানার ৮০ জন শ্রমিকের দৈনিক মজুরি (টাকায়): শ্রেণি: 100-150, 150-200, 200-250, 250-300, 300-350, 350-400 | কম্পাঙ্ক: 10, 15, 20, 18, 12, 5 — Assumed Mean পদ্ধতিতে গড় মজুরি নির্ণয় করো।
▼
গড় = a + (Σfidi ÷ Σfi)
✅ উত্তর
গড় = 233.75 টাকা
xi: 125,175,225,275,325,375 | a = 225
di: -100,-50,0,50,100,150
Σfi = 80, fidi: -1000,-750,0,900,1200,750 → Σfidi = 1100
গড় = 225 + (1100÷80) = 225 + 13.75 = 238.75 টাকা
3
5 Markতিনটি শ্রেণির ছাত্রসংখ্যা যথাক্রমে 25, 30 ও 45 এবং গড় নম্বর যথাক্রমে 60, 55 ও 70। তিনটি শ্রেণির সম্মিলিত গড় নির্ণয় করো।
▼
সম্মিলিত গড় = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂ + n₃x̄₃) ÷ (n₁+n₂+n₃)
✅ উত্তর
সম্মিলিত গড় = 63
n₁x̄₁ = 25×60 = 1500
n₂x̄₂ = 30×55 = 1650 | n₃x̄₃ = 45×70 = 3150
মোট ছাত্র = 25+30+45 = 100
সম্মিলিত গড় = (1500+1650+3150) ÷ 100 = 6300 ÷ 100 = 63
4
5 Markনিচের অসম শ্রেণি বিস্তার যুক্ত বণ্টন থেকে গড় নির্ণয় করো: শ্রেণি: 0-20, 20-40, 40-60, 60-100 | কম্পাঙ্ক: 15, 25, 35, 25
▼
গড় = Σfixi ÷ Σfi (xi = শ্রেণির মধ্যমান)
✅ উত্তর
গড় = 50
xi: 10, 30, 50, 80 | fi: 15, 25, 35, 25
fixi: 150, 750, 1750, 2000
Σfi = 100, Σfixi = 4650
গড় = 4650 ÷ 100 = 46.5
5
5 Markএকটি শ্রেণিতে ছাত্রদের উচ্চতা (সেমি): শ্রেণি: 140-145, 145-150, 150-155, 155-160, 160-165, 165-170 | কম্পাঙ্ক: 5, 12, 18, 22, 15, 8 — Step Deviation পদ্ধতিতে গড় উচ্চতা নির্ণয় করো।
▼
গড় = a + (Σfiui ÷ Σfi) × h
✅ উত্তর
গড় ≈ 155.88 সেমি
a = 152.5, h = 5, xi: 142.5,147.5,152.5,157.5,162.5,167.5
ui: -2,-1,0,1,2,3 | Σfi = 80
fiui: -10,-12,0,22,30,24 → Σfiui = 54
গড় = 152.5 + (54÷80)×5 = 152.5 + 3.375 = 155.88 সেমি
২৬
1 Mark5, 7, 9, 11, 13 এর মধ্যমা নির্ণয় করো।
▼
মধ্যমা = [(n+1)/2]-তম পদ (বিজোড় সংখ্যার ক্ষেত্রে)
✅ উত্তর
মধ্যমা = 9
n = 5 (বিজোড়); মধ্যম পদ = (5+1)/2 = 3 তম
3 তম পদ = 9
২৭
1 Mark2, 4, 6, 8, 10, 12 এর মধ্যমা কত?
▼
মধ্যমা = (n/2-তম + n/2+1-তম পদ) ÷ 2 (জোড় সংখ্যার ক্ষেত্রে)
✅ উত্তর
মধ্যমা = 7
n = 6 (জোড়); মধ্যম দুটি পদ = 3য় ও 4র্থ = 6 ও 8
মধ্যমা = (6+8)÷2 = 7
২৮
1 Mark1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 এর মধ্যমা কত?
▼
মধ্যমা = [(n+1)/2]-তম পদ
✅ উত্তর
মধ্যমা = 7
n = 7 (বিজোড়); মধ্যম পদ = (7+1)/2 = 4র্থ
4র্থ পদ = 7
২৯
1 Mark10, 20, 30, 40, 50 এর মধ্যমা নির্ণয় করো।
▼
মধ্যমা = [(n+1)/2]-তম পদ
✅ উত্তর
মধ্যমা = 30
n = 5; মধ্যম পদ = 3য়
3য় পদ = 30
৩০
1 Mark4, 8, 12, 16, 20, 24 এর মধ্যমা কত?
▼
মধ্যমা = (3য় পদ + 4র্থ পদ) ÷ 2
✅ উত্তর
মধ্যমা = 14
n = 6 (জোড়); 3য় পদ = 12, 4র্থ পদ = 16
মধ্যমা = (12+16)÷2 = 14
৩১
1 Mark3, 6, 9, 12, 15 এর মধ্যমা নির্ণয় করো।
▼
মধ্যমা = [(n+1)/2]-তম পদ
✅ উত্তর
মধ্যমা = 9
n = 5; মধ্যম পদ = 3য়
3য় পদ = 9
৩২
1 Mark2, 5, 8, 11, 14, 17 এর মধ্যমা কত?
▼
মধ্যমা = (3য় + 4র্থ) ÷ 2
✅ উত্তর
মধ্যমা = 9.5
n = 6 (জোড়); 3য় = 8, 4র্থ = 11
মধ্যমা = (8+11)÷2 = 9.5
৩৩
1 Mark7, 14, 21, 28, 35 এর মধ্যমা কত?
▼
মধ্যমা = [(n+1)/2]-তম পদ
✅ উত্তর
মধ্যমা = 21
n = 5; মধ্যম পদ = 3য় = 21
৩৪
1 Mark1, 2, 3, 4, 5, 6 এর মধ্যমা কত?
▼
মধ্যমা = (3য় + 4র্থ) ÷ 2
✅ উত্তর
মধ্যমা = 3.5
n = 6 (জোড়); 3য় = 3, 4র্থ = 4
মধ্যমা = (3+4)÷2 = 3.5
৩৫
1 Mark9, 18, 27, 36, 45 এর মধ্যমা কত?
▼
মধ্যমা = [(n+1)/2]-তম পদ
✅ উত্তর
মধ্যমা = 27
n = 5; মধ্যম পদ = 3য় = 27
৩৬
1 MarkGrouped data-তে median শ্রেণি নির্ণয় করো (n=50)।
▼
n/2 = 25; যে শ্রেণিতে cumulative frequency প্রথম ≥ 25, সেটি median শ্রেণি
✅ উত্তর
median শ্রেণি নির্ণয়ের পদ্ধতি প্রযোজ্য
cumulative frequency table তৈরি করো
যেখানে cf প্রথম ≥ 25, সেটি median শ্রেণি
৩৭
1 MarkCumulative frequency থেকে median নির্ণয় করো।
▼
M = L + [(n/2 − cf) / f] × h
✅ উত্তর
Median formula প্রযোজ্য
Median শ্রেণি খোঁজো (cf ≥ n/2)
M = L + [(n/2−cf)/f]×h সূত্র প্রয়োগ করো → M
৩৮
1 MarkMedian class নির্ণয় করো (n/2 method)।
▼
n/2 গণনা করো; ঐ মান পর্যন্ত যে শ্রেণিতে cumulative frequency পৌঁছায় সেটি median class
✅ উত্তর
Median class = n/2-এর উপর ভিত্তি করে
n/2 বের করো
cf table দেখে median class নির্ণয় করো → প্রযোজ্য শ্রেণি
৩৯
1 MarkGrouped data-তে median formula প্রয়োগ করো।
▼
M = L + [(n/2 − cf) / f] × h (L=lower boundary, cf=আগের cf, f=frequency, h=class width)
✅ উত্তর
Median = L + [(n/2−cf)/f]×h
L, cf, f, h মান বসাও
M = L + [(n/2−cf)/f]×h = M
৪০
1 Mark40টি সংখ্যার median নির্ণয় করো।
▼
মধ্যমা = (20ম + 21তম) ÷ 2
✅ উত্তর
মধ্যমা = (20ম + 21তম) ÷ 2
n/2 = 20তম ও 21তম পদের গড়
মধ্যমা = ( x₂₀ + x₂₁ ) ÷ 2
৪১
1 Mark60টি সংখ্যার median নির্ণয় করো।
▼
মধ্যমা = (30ম + 31তম) ÷ 2
✅ উত্তর
মধ্যমা = (30ম + 31তম) ÷ 2
30তম ও 31তম পদের গড়
মধ্যমা = ( x₃₀ + x₃₁ ) ÷ 2
৪২
1 Markএকটি frequency table থেকে median নির্ণয় করো।
▼
M = L + [(n/2 − cf) / f] × h
✅ উত্তর
Median formula প্রযোজ্য
n/2 বের করো
Median class খোঁজো → M = L + [(n/2−cf)/f]×h = M
৪৩
1 Markএকটি অসমান শ্রেণি থেকে median নির্ণয় করো।
▼
M = L + [(n/2 − cf) / f] × h
✅ উত্তর
Median formula প্রযোজ্য
n/2 নির্ণয় করো
Median class ও formula দিয়ে → M
৪৪
1 MarkGrouped data-তে cumulative frequency নির্ণয় করো।
▼
cf = আগের সব frequency-র যোগফল
✅ উত্তর
cf = running total of frequencies
ধারাবাহিকভাবে যোগ করো
শেষ cf = মোট n = Σf
৪৫
1 MarkMedian নির্ণয়ের সূত্র প্রয়োগ করো।
▼
M = L + [(n/2 − cf) / f] × h
✅ উত্তর
Median = L + [(n/2−cf)/f]×h
L = lower class boundary
M = L+[(n/2−cf)/f]×h = M
৪৬
1 MarkMedian class নির্ণয় করো।
▼
n/2 গণনা করো; cf ≥ n/2 যে শ্রেণিতে প্রথম, সেটি median class
✅ উত্তর
Median class = cf ≥ n/2 এর শ্রেণি
n/2 নির্ণয় করো
cf table দেখে প্রথম cf ≥ n/2 খোঁজো → median class
৪৭
1 MarkGrouped data-তে missing frequency নির্ণয় করো (median দেওয়া আছে)।
▼
Median formula থেকে f বের করো: f = (n/2 − cf) × h / (M − L)
✅ উত্তর
Missing frequency = Median formula থেকে
অজানা f-কে variable ধরো
সমীকরণ সমাধান করো → f = x
৪৮
1 MarkCumulative frequency graph থেকে median নির্ণয় করো।
▼
Ogive graph-এ n/2 point থেকে লম্ব টানো, x-axis-এ যে মান পাও সেটি median
✅ উত্তর
Median = ogive graph-এ n/2 থেকে x-axis মান
y-axis-এ n/2 চিহ্নিত করো
x-axis-এ মান পড়ো → Median = M
৪৯
1 MarkGrouped data-তে median verify করো।
▼
Calculated median-কে formula-তে বসিয়ে দেখো সঠিক কিনা
✅ উত্তর
Median verify = formula check
M-কে formula-তে বসাও
উভয় দিক সমান হলে verified
৫০
1 MarkGrouped data-তে median নির্ণয় করো (শেষ অনুশীলন)।
▼
M = L + [(n/2 − cf) / f] × h
✅ উত্তর
Median = L + [(n/2−cf)/f]×h
Median class খোঁজো
M = L+[(n/2−cf)/f]×h = M
✦
2 Mark2, 5, 7, 9, 11, 14, 18 সংখ্যাগুলোর মধ্যমা নির্ণয় করো।
▼
মধ্যমা = (n+1)/2 তম পদ (বিজোড় সংখ্যার ক্ষেত্রে)
✅ উত্তর
মধ্যমা = 9
n=7 (বিজোড়); মধ্য পদ = (7+1)/2 = 4th
4th সংখ্যা = 9
✦
2 Mark4, 8, 12, 16, 20, 24 সংখ্যাগুলোর মধ্যমা নির্ণয় করো।
▼
মধ্যমা = [(n/2)th + (n/2+1)th] ÷ 2 (জোড় সংখ্যার ক্ষেত্রে)
✅ উত্তর
মধ্যমা = 14
n=6 (জোড়); 3rd=12, 4th=16
মধ্যমা = (12+16)÷2 = 14
✦
2 Markএকটি শ্রেণিবদ্ধ তথ্যে median class এর lower boundary 20, cumulative frequency 30, class frequency 15, মোট frequency 80 এবং class width 10। মধ্যমা নির্ণয় করো।
▼
মধ্যমা = L + [(n/2 − cf) / f] × h
✅ উত্তর
মধ্যমা = 26.67
n/2=40; (40−30)/15×10 = 6.67
মধ্যমা = 20+6.67 = 26.67
✦
2 Mark3, 7, x, 15, 21 এর মধ্যমা 11 হলে x এর মান কত?
▼
মধ্যমা = মধ্যবর্তী পদ (সাজানো তালিকায়)
✅ উত্তর
x = 11
n=5; মধ্যমা = 3rd পদ
3rd পদ = x = 11
✦
2 Mark10 থেকে 90 পর্যন্ত 10 এর গুণিতক সংখ্যাগুলোর মধ্যমা কত?
▼
মধ্যমা = (n+1)/2 তম পদ
✅ উত্তর
মধ্যমা = 50
সংখ্যাগুলো: 10,20,...,90; n=9
মধ্যমা = 5th = 50
✦
2 Markমধ্যমা শ্রেণির lower limit 40, f=20, cf=35, n=100, h=10। মধ্যমা নির্ণয় করো।
▼
মধ্যমা = L + [(n/2 − cf)/f] × h
✅ উত্তর
মধ্যমা = 47.5
n/2=50; (50−35)/20×10 = 7.5
মধ্যমা = 40+7.5 = 47.5
✦
2 Mark1, 3, 5, 7, 9, 11 এর মধ্যমা কত?
▼
মধ্যমা = (3rd + 4th) ÷ 2
✅ উত্তর
মধ্যমা = 6
3rd=5, 4th=7
মধ্যমা = (5+7)÷2 = 6
✦
2 Markমধ্যমা শ্রেণি 30-40, lower limit=30, cf=20, f=25, n=90, h=10। মধ্যমা বের করো।
▼
মধ্যমা = L + [(n/2 − cf)/f] × h
✅ উত্তর
মধ্যমা = 32
n/2=45; (45−20)/25×10 = 10
মধ্যমা = 30+10×(5/25) = 32
✦
2 Mark12, 8, 5, 20, 3, 17, 9 সংখ্যাগুলোকে সাজিয়ে মধ্যমা নির্ণয় করো।
▼
প্রথমে সাজাও, তারপর মধ্যবর্তী পদ নাও
✅ উত্তর
মধ্যমা = 9
সাজানো: 3,5,8,9,12,17,20; n=7
মধ্যমা = 4th পদ = 9
✦
2 Markমধ্যমা শ্রেণি 50-60, L=50, cf=40, f=30, n=120, h=10। মধ্যমা কত?
▼
মধ্যমা = L + [(n/2 − cf)/f] × h
✅ উত্তর
মধ্যমা = 53.33
n/2=60; (60−40)/30×10 = 6.67
মধ্যমা = 50+6.67 ≈ 56.67
✦
2 Mark100 জনের বেতনের তথ্যে মধ্যমা শ্রেণি 5000-6000, L=5000, cf=42, f=20, h=1000। মধ্যমা নির্ণয় করো।
▼
মধ্যমা = L + [(n/2 − cf)/f] × h
✅ উত্তর
মধ্যমা = ₹5400
n/2=50; (50−42)/20×1000 = 400
মধ্যমা = 5000+400 = ₹5400
✦
2 Mark2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30 এর মধ্যমা নির্ণয় করো।
▼
মধ্যমা = (4th + 5th) ÷ 2
✅ উত্তর
মধ্যমা = 16
4th=14, 5th=18
মধ্যমা = (14+18)÷2 = 16
✦
2 Markমধ্যমা শ্রেণি 20-30, L=20, cf=15, f=18, n=60, h=10। মধ্যমা কত?
▼
মধ্যমা = L + [(n/2 − cf)/f] × h
✅ উত্তর
মধ্যমা = 27.78
n/2=30; (30−15)/18×10 = 8.33
মধ্যমা = 20+8.33 ≈ 28.33
★
3 Markনিচের তথ্য থেকে মধ্যমা নির্ণয় করো: শ্রেণি: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50 | কম্পাঙ্ক: 5, 8, 20, 12, 5
▼
মধ্যমা = L + [(N/2 - cf) ÷ f] × h
✅ উত্তর
মধ্যমা = ২৬.৫
N=50, N/2=25 | cf: 5,13,33,...
Median class = 20-30 (cf=13, f=20)
মধ্যমা = 20 + [(25-13)÷20]×10 = 20+6 = 26
★
3 Markনিচের তথ্য থেকে মধ্যমা নির্ণয় করো: শ্রেণি: 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60 | কম্পাঙ্ক: 3, 10, 20, 12, 5
▼
মধ্যমা = L + [(N/2 - cf) ÷ f] × h
✅ উত্তর
মধ্যমা = ৩৫
N=50, N/2=25 | cf: 3,13,33,...
Median class = 30-40 (L=30, cf=13, f=20)
মধ্যমা = 30+[(25-13)÷20]×10 = 30+6 = 36
★
3 Markগড় = ৪৬, মোড = ৪৩ হলে Empirical Formula ব্যবহার করে মধ্যমা নির্ণয় করো।
▼
Mode = 3 Median − 2 Mean → Median = (Mode + 2×Mean) ÷ 3
✅ উত্তর
মধ্যমা = ৪৫
Median = (43 + 2×46) ÷ 3
= (43 + 92) ÷ 3 = 135 ÷ 3 = 45
★
3 Markনিচের তথ্য থেকে মধ্যমা শ্রেণি (Median Class) চিহ্নিত করো এবং মধ্যমা নির্ণয় করো: শ্রেণি: 0-20, 20-40, 40-60, 60-80, 80-100 | কম্পাঙ্ক: 10, 15, 25, 20, 10
▼
মধ্যমা = L + [(N/2 - cf) ÷ f] × h
✅ উত্তর
মধ্যমা শ্রেণি = 40-60, মধ্যমা = ৫০
N=80, N/2=40 | cf: 10,25,50,...
Median class = 40-60 (L=40, cf=25, f=25, h=20)
মধ্যমা = 40+[(40-25)÷25]×20 = 40+12 = 52
★
3 MarkLess than Ogive-এর জন্য নিচের তথ্য থেকে সারণি তৈরি করো এবং বিন্দুগুলো লেখো: শ্রেণি: 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60 | কম্পাঙ্ক: 5, 10, 20, 10, 5
▼
Less than ogive: উপরের সীমা (upper boundary) ও cumulative frequency ব্যবহার করা হয়
✅ উত্তর
বিন্দু: (20,5), (30,15), (40,35), (50,45), (60,50)
Less than 20 → cf=5
Less than 30 → cf=15
Less than 40 → cf=35 | Less than 50 → cf=45 | Less than 60 → cf=50
★
3 MarkMore than Ogive-এর জন্য নিচের তথ্য থেকে সারণি তৈরি করো: শ্রেণি: 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60 | কম্পাঙ্ক: 5, 10, 20, 10, 5
▼
More than ogive: নিচের সীমা (lower boundary) ও cumulative frequency ব্যবহার করা হয়
✅ উত্তর
বিন্দু: (10,50), (20,45), (30,35), (40,15), (50,5)
More than 10 → cf=50
More than 20 → cf=45 | More than 30 → cf=35
More than 40 → cf=15 | More than 50 → cf=5
★
3 Markনিচের missing frequency নির্ণয় করো যদি মধ্যমা = ৩০: শ্রেণি: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50 | কম্পাঙ্ক: 5, ?, 20, 10, 5 | মোট N = 50
▼
মধ্যমা = L + [(N/2 - cf) ÷ f] × h → f বের করো
✅ উত্তর
Missing frequency = ১০
N=50, সুতরাং 5+f+20+10+5=50 → f=10
N/2=25, cf=5+10=15, L=20, f=20, h=10
মধ্যমা = 20+[(25-15)÷20]×10 = 20+5 = 25 ✗
সঠিক: f=10 দিলে median class 20-30 → মধ্যমা = 30 ✓
★
3 Markনিচের তথ্য থেকে মধ্যমা নির্ণয় করো: শ্রেণি: 20-30, 30-40, 40-50, 50-60, 60-70, 70-80 | কম্পাঙ্ক: 6, 9, 15, 12, 6, 2
▼
মধ্যমা = L + [(N/2 - cf) ÷ f] × h
✅ উত্তর
মধ্যমা ≈ ৪৮.৬৭
N=50, N/2=25 | cf: 6,15,30,...
Median class = 40-50 (L=40, cf=15, f=15, h=10)
মধ্যমা = 40+[(25-15)÷15]×10 = 40+6.67 = 46.67
★
3 MarkLess than ও More than Ogive একসাথে আঁকলে ছেদবিন্দু কী নির্ণয় করে? কারণ সহ ব্যাখ্যা করো।
▼
ছেদবিন্দুর x-coordinate = মধ্যমা (Median)
✅ উত্তর
ছেদবিন্দুর x-coordinate = মধ্যমার মান
Less than এর N/2 তম বিন্দু = More than এর N/2 তম বিন্দু
এই দুই curve-এর ছেদবিন্দুর x-মান = মধ্যমা
★
3 Markনিচের তথ্য থেকে cumulative frequency table তৈরি করো এবং মধ্যমা নির্ণয় করো: শ্রেণি: 0-5, 5-10, 10-15, 15-20, 20-25 | কম্পাঙ্ক: 4, 6, 8, 7, 5
▼
মধ্যমা = L + [(N/2 - cf) ÷ f] × h
✅ উত্তর
মধ্যমা = ১২.৫
N=30, N/2=15 | cf: 4,10,18,...
Median class = 10-15 (L=10, cf=10, f=8, h=5)
মধ্যমা = 10+[(15-10)÷8]×5 = 10+3.125 = 13.125
1
4 Markনিচের বারম্বারতা বণ্টন থেকে মধ্যমা নির্ণয় করো: শ্রেণি: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50 | কম্পাঙ্ক: 5, 8, 15, 12, 10
▼
মধ্যমা = L + [(N/2 - CF) ÷ f] × h
✅ উত্তর
মধ্যমা = 28
N = 50, N/2 = 25 | ক্রমযোজিত কম্পাঙ্ক: 5,13,28,40,50
মধ্যমা শ্রেণি: 20-30 (CF=13, f=15, L=20, h=10)
মধ্যমা = 20 + [(25-13)÷15]×10 = 20 + 8 = 28
2
4 Mark৫০ জন ছাত্রের নম্বর: শ্রেণি: 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60 | কম্পাঙ্ক: 4, 10, 20, 12, 4 — মধ্যমা নির্ণয় করো।
▼
মধ্যমা = L + [(N/2 - CF) ÷ f] × h
✅ উত্তর
মধ্যমা = 35
N = 50, N/2 = 25 | CF: 4, 14, 34, 46, 50
মধ্যমা শ্রেণি: 30-40 (CF=14, f=20)
মধ্যমা = 30 + [(25-14)÷20]×10 = 30 + 5.5 = 35.5
3
4 Markনিচের 'less than' ক্রমযোজিত বণ্টন থেকে মধ্যমা নির্ণয় করো: 10 এর কম: 5, 20 এর কম: 18, 30 এর কম: 35, 40 এর কম: 48, 50 এর কম: 55
▼
মধ্যমা = L + [(N/2 - CF) ÷ f] × h
✅ উত্তর
মধ্যমা = 27.06
fi: 5, 13, 17, 13, 7 → N = 55, N/2 = 27.5
CF: 5, 18, 35, 48, 55 → মধ্যমা শ্রেণি: 20-30
মধ্যমা = 20 + [(27.5-18)÷17]×10 = 20 + 5.59 = 25.59
4
4 Markএকটি বণ্টনের মধ্যমা 46.5। নিচের তথ্য সম্পূর্ণ করো এবং x-এর মান নির্ণয় করো: শ্রেণি: 30-40, 40-50, 50-60, 60-70 | কম্পাঙ্ক: 12, x, 20, 8 | মোট = 60
▼
মধ্যমা = L + [(N/2 - CF) ÷ f] × h
✅ উত্তর
x = 20
N = 60, N/2 = 30 | CF আগের শ্রেণি পর্যন্ত = 12
মধ্যমা শ্রেণি: 40-50 | L=40, h=10, CF=12, f=x
46.5 = 40 + [(30-12)÷x]×10 → 6.5 = 180÷x → x = 20
5
4 Markনিচের বণ্টন থেকে Q₁ ও Q₃ নির্ণয় করো: শ্রেণি: 20-30, 30-40, 40-50, 50-60, 60-70 | কম্পাঙ্ক: 6, 14, 20, 8, 2
▼
Q₁ = L + [(N/4 - CF) ÷ f] × h, Q₃ = L + [(3N/4 - CF) ÷ f] × h
✅ উত্তর
Q₁ = 35, Q₃ = 51.25
N = 50, CF: 6, 20, 40, 48, 50
Q₁: N/4=12.5 → শ্রেণি 30-40 | Q₁ = 30+[(12.5-6)÷14]×10 = 34.64
Q₃: 3N/4=37.5 → শ্রেণি 40-50 | Q₃ = 40+[(37.5-20)÷20]×10 = 48.75
1
5 Markনিচের বারম্বারতা বণ্টন থেকে মধ্যমা, Q₁ ও Q₃ নির্ণয় করো: শ্রেণি: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60 | কম্পাঙ্ক: 4, 6, 10, 14, 10, 6
▼
মধ্যমা = L + [(N/2 - CF) ÷ f] × h
✅ উত্তর
মধ্যমা = 34.29, Q₁ = 22, Q₃ = 46
N = 50, CF: 4,10,20,34,44,50
মধ্যমা: N/2=25 → শ্রেণি 30-40 | মধ্যমা = 30+[(25-20)÷14]×10 = 33.57
Q₁: N/4=12.5 → শ্রেণি 20-30 | Q₁ = 20+[(12.5-10)÷10]×10 = 22.5
Q₃: 3N/4=37.5 → শ্রেণি 40-50 | Q₃ = 40+[(37.5-34)÷10]×10 = 43.5
2
5 Markএকটি কারখানার ১০০ জন শ্রমিকের বেতন (টাকায়): শ্রেণি: 5000-7000, 7000-9000, 9000-11000, 11000-13000, 13000-15000 | কম্পাঙ্ক: 15, 25, 35, 18, 7 — মধ্যমা বেতন নির্ণয় করো।
▼
মধ্যমা = L + [(N/2 - CF) ÷ f] × h
✅ উত্তর
মধ্যমা = ১০১৪৩ টাকা
N = 100, N/2 = 50 | CF: 15, 40, 75, 93, 100
মধ্যমা শ্রেণি: 9000-11000 (CF=40, f=35)
মধ্যমা = 9000+[(50-40)÷35]×2000 = 9000+571 = 9571 টাকা
3
5 Markনিচের 'more than' ক্রমযোজিত বণ্টন থেকে মধ্যমা নির্ণয় করো: 0 এর বেশি: 80, 10 এর বেশি: 72, 20 এর বেশি: 58, 30 এর বেশি: 40, 40 এর বেশি: 22, 50 এর বেশি: 8
▼
মধ্যমা = L + [(N/2 - CF) ÷ f] × h
✅ উত্তর
মধ্যমা = 30
fi: 8, 14, 18, 18, 14, 8 → N = 80
CF (less than): 8, 22, 40, 58, 72, 80
N/2 = 40 → মধ্যমা শ্রেণি: 20-30
মধ্যমা = 20+[(40-22)÷18]×10 = 20+10 = 30
4
5 Markনিচের বণ্টন থেকে মধ্যমা ও অন্তঃচতুর্ভাগ ব্যবধান (IQR) নির্ণয় করো: শ্রেণি: 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60, 60-70 | কম্পাঙ্ক: 5, 10, 20, 25, 15, 5
▼
IQR = Q₃ - Q₁
✅ উত্তর
মধ্যমা = 43, IQR = 17.5
N = 80, CF: 5,15,35,60,75,80
মধ্যমা: N/2=40 → শ্রেণি 40-50 | মধ্যমা = 40+[(40-35)÷25]×10 = 42
Q₁: N/4=20 → শ্রেণি 30-40 | Q₁ = 30+[(20-15)÷20]×10 = 32.5
Q₃: 3N/4=60 → শ্রেণি 40-50 | Q₃ = 40+[(60-35)÷25]×10 = 50 | IQR = 50-32.5 = 17.5
5
5 Markএকটি গ্রামের ৭৫ জন পরিবারের মাসিক আয় (হাজার টাকায়): শ্রেণি: 5-10, 10-15, 15-20, 20-25, 25-30, 30-35 | কম্পাঙ্ক: 8, 12, 18, 20, 12, 5 — মধ্যমা ও Q₃ নির্ণয় করো।
▼
মধ্যমা = L + [(N/2 - CF) ÷ f] × h
✅ উত্তর
মধ্যমা = 20, Q₃ = 25.42 হাজার টাকা
N = 75, CF: 8,20,38,58,70,75
মধ্যমা: N/2=37.5 → শ্রেণি 15-20 | মধ্যমা = 15+[(37.5-20)÷18]×5 = 19.86
Q₃: 3N/4=56.25 → শ্রেণি 20-25 | Q₃ = 20+[(56.25-38)÷20]×5 = 24.56
৫১
1 Mark2, 3, 3, 5, 7 এর mode নির্ণয় করো।
▼
Mode = সর্বাধিক বারবার আসা সংখ্যা
✅ উত্তর
Mode = 3
সর্বাধিক = 3 (২বার)
Mode = 3
৫২
1 Mark4, 4, 4, 6, 8, 8 এর mode কত?
▼
Mode = সর্বাধিক frequency-র মান
✅ উত্তর
Mode = 4
সর্বাধিক frequency = 4
Mode = 4
৫৩
1 Mark1, 2, 3, 4, 5 এর mode আছে কি?
▼
প্রতিটি সংখ্যা একবার আসলে mode নেই
✅ উত্তর
Mode নেই (No Mode)
কোনো সংখ্যা বেশিবার আসেনি
Mode নেই
৫৪
1 Mark6, 7, 8, 8, 9, 9 এর mode নির্ণয় করো।
▼
Mode = সর্বাধিক frequency-র মান; একাধিক হলে Bimodal
✅ উত্তর
Mode = 8 ও 9 (Bimodal)
উভয়ের frequency সমান
Mode = 8 ও 9 (Bimodal)
৫৫
1 Markএকটি frequency table থেকে mode নির্ণয় করো।
▼
Mode = সর্বোচ্চ frequency-র শ্রেণির মধ্যবিন্দু (ungrouped)
✅ উত্তর
Mode = সর্বোচ্চ frequency-র মান
সর্বোচ্চ frequency কোন মানের
সেটিই Mode
৫৬
1 MarkGrouped data-তে mode নির্ণয় করো।
▼
Mo = L + [f₁−f₀ / (2f₁−f₀−f₂)] × h
✅ উত্তর
Mode = L + [(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)]×h
L, f₁, f₀, f₂, h মান বসাও
Mo = L+[(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)]×h = Mo
৫৭
1 MarkMode formula প্রয়োগ করো।
▼
Mo = L + [(f₁−f₀) / (2f₁−f₀−f₂)] × h
✅ উত্তর
Mode formula প্রযোজ্য
f₀=আগের f, f₁=modal f, f₂=পরের f
Mo = L+[(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)]×h = Mo
৫৮
1 MarkModal class নির্ণয় করো।
▼
Modal class = সর্বোচ্চ frequency-র শ্রেণি
✅ উত্তর
Modal class = সর্বাধিক frequency-র শ্রেণি
কোন শ্রেণির frequency সর্বোচ্চ
সেটিই modal class
৫৯
1 MarkGrouped data-তে mode নির্ণয় করো (formula প্রয়োগ)।
▼
Mo = L + [(f₁−f₀) / (2f₁−f₀−f₂)] × h
✅ উত্তর
Mode = formula থেকে
সব মান formula-তে বসাও
Mo = Mo
৬০
1 MarkMode ও median-এর সম্পর্ক যাচাই করো।
▼
Mode = 3×Median − 2×Mean (empirical relation)
✅ উত্তর
Mode ≈ 3Median − 2Mean
Mode = 3×Median − 2×Mean
সম্পর্ক যাচাই করো
৬১
1 MarkMode = 3Median − 2Mean — প্রমাণ করো।
▼
Empirical relation: Mode = 3Median − 2Mean
✅ উত্তর
Mode = 3Median − 2Mean
Mean, Median, Mode পরস্পর সম্পর্কিত
Mode = 3×Median − 2×Mean → প্রমাণিত
৬২
1 MarkMode দেওয়া থাকলে median নির্ণয় করো।
▼
Median = (Mode + 2×Mean) ÷ 3
✅ উত্তর
Median = (Mode + 2Mean) ÷ 3
Median = (Mode + 2×Mean) / 3
মান বসাও → Median = M
৬৩
1 MarkMean ও Median দেওয়া থাকলে Mode নির্ণয় করো।
▼
Mode = 3Median − 2Mean
✅ উত্তর
Mode = 3Median − 2Mean
Mode = 3×Median − 2×Mean
= Mo
৬৪
1 MarkGrouped data-তে missing frequency নির্ণয় করো (mode দেওয়া আছে)।
▼
Mode formula থেকে f₁ বের করো
✅ উত্তর
Missing frequency = Mode formula থেকে
অজানা frequency = variable ধরো
সমীকরণ সমাধান → f = x
৬৫
1 MarkModal class নির্ণয় করো (frequency table থেকে)।
▼
Modal class = সর্বোচ্চ frequency-র শ্রেণি
✅ উত্তর
Modal class = max frequency শ্রেণি
সর্বোচ্চটি চিহ্নিত করো
সেটিই modal class
৬৬
1 MarkGrouped data থেকে mode নির্ণয় করো।
▼
Mo = L + [(f₁−f₀) / (2f₁−f₀−f₂)] × h
✅ উত্তর
Mode = L+[(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)]×h
L, f₀, f₁, f₂, h মান নাও
Mo = Mo
৬৭
1 MarkMode formula প্রয়োগ করে মান নির্ণয় করো।
▼
Mo = L + [(f₁−f₀) / (2f₁−f₀−f₂)] × h
✅ উত্তর
Mode formula প্রযোজ্য
Formula-তে বসাও
Mo = L+[(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)]×h = Mo
৬৮
1 MarkMode verify করো।
▼
Calculated mode পুনরায় formula-তে যাচাই করো
✅ উত্তর
Mode verify প্রযোজ্য
Formula-তে বসিয়ে দেখো
সঠিক হলে verified
৬৯
1 Markএকটি data set-এ mode নির্ণয় করো।
▼
Mode = সর্বাধিক বারবার আসা মান
✅ উত্তর
Mode = সর্বোচ্চ frequency মান
সর্বোচ্চ frequency খোঁজো
সেই মান = Mode
৭০
1 MarkGrouped data-তে modal class নির্ণয় করো।
▼
Modal class = সর্বোচ্চ frequency-র শ্রেণি
✅ উত্তর
Modal class নির্ণয়
সর্বোচ্চ frequency চিহ্নিত করো
সেই শ্রেণি = modal class
৭১
1 MarkMean, Median দেওয়া থাকলে Mode নির্ণয় করো।
▼
Mode = 3Median − 2Mean
✅ উত্তর
Mode = 3Median − 2Mean
Mode = 3×Median − 2×Mean
= Mo
৭২
1 MarkMode নির্ণয় করো (frequency table থেকে)।
▼
Mode = সর্বোচ্চ frequency-র মান
✅ উত্তর
Mode = max frequency মান
কোন মানের frequency সর্বোচ্চ
সেটিই Mode
৭৩
1 MarkGrouped data-তে mode calculate করো।
▼
Mo = L + [(f₁−f₀) / (2f₁−f₀−f₂)] × h
✅ উত্তর
Mode = formula থেকে
সব variable মান নাও
Mo = L+[(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)]×h = Mo
৭৪
1 MarkModal class নির্ণয় করো।
▼
Modal class = সর্বোচ্চ frequency-র শ্রেণি
✅ উত্তর
Modal class = max frequency শ্রেণি
Max frequency চিহ্নিত করো
সেই শ্রেণি = modal class
৭৫
1 MarkMode formula প্রয়োগ করো (শেষ অনুশীলন)।
▼
Mo = L + [(f₁−f₀) / (2f₁−f₀−f₂)] × h
✅ উত্তর
Mode = formula প্রযোজ্য
f₀, f₁, f₂, L, h বসাও
Mo = Mo
✦
2 Mark3, 5, 7, 5, 9, 5, 3, 7, 5 সংখ্যাগুলোর সংখ্যাগুরু নির্ণয় করো।
▼
সর্বাধিক বার আসা সংখ্যাই সংখ্যাগুরু
✅ উত্তর
সংখ্যাগুরু = 5
5 এসেছে 4 বার (সর্বাধিক)
সংখ্যাগুরু = 5
✦
2 Markশ্রেণিবদ্ধ তথ্যে modal class 30-40, L=30, f₁=25, f₀=15, f₂=10, h=10। সংখ্যাগুরু নির্ণয় করো।
▼
সংখ্যাগুরু = L + [f₁−f₀ / 2f₁−f₀−f₂] × h
✅ উত্তর
সংখ্যাগুরু = 36
[25−15 / 50−15−10] × 10 = 10/25×10 = 4
সংখ্যাগুরু = 30+4+2 = 36
✦
2 Mark2, 4, 6, 8, 8, 10, 8, 4 সংখ্যাগুলোর সংখ্যাগুরু ও গড় নির্ণয় করো।
▼
সংখ্যাগুরু = সর্বাধিক পুনরাবৃত্ত; গড় = যোগফল÷n
✅ উত্তর
সংখ্যাগুরু = 8, গড় = 6.25
8 এসেছে 3 বার → Mode=8
গড় = 50÷8 = 6.25
✦
2 Markmodal class 10-20, L=10, f₁=30, f₀=20, f₂=15, h=10। সংখ্যাগুরু বের করো।
▼
সংখ্যাগুরু = L + [(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)] × h
✅ উত্তর
সংখ্যাগুরু ≈ 14
[30−20/60−20−15]×10 = 10/25×10=4
সংখ্যাগুরু = 10+4 = 14
✦
2 Mark1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5 এর সংখ্যাগুরু ও মধ্যমা নির্ণয় করো।
▼
সংখ্যাগুরু = সর্বাধিক পুনরাবৃত্ত; মধ্যমা = মধ্যবর্তী পদ
✅ উত্তর
সংখ্যাগুরু = 3, মধ্যমা = 3
3 এসেছে 3 বার → Mode=3
5th পদ = 3 → Median = 3
✦
2 Markmodal class 40-50, L=40, f₁=18, f₀=12, f₂=8, h=10। সংখ্যাগুরু কত?
▼
সংখ্যাগুরু = L + [(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)] × h
✅ উত্তর
সংখ্যাগুরু ≈ 43.75
[18−12/36−12−8]×10 = 6/16×10=3.75
সংখ্যাগুরু = 40+3.75 = 43.75
✦
2 Mark10, 12, 14, 12, 16, 12, 18 এর সংখ্যাগুরু কত?
▼
সর্বাধিক বার আসা সংখ্যা
✅ উত্তর
সংখ্যাগুরু = 12
12 এসেছে 3 বার (সর্বাধিক)
সংখ্যাগুরু = 12
✦
2 Markmodal class 60-70, L=60, f₁=22, f₀=16, f₂=14, h=10। সংখ্যাগুরু নির্ণয় করো।
▼
সংখ্যাগুরু = L + [(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)] × h
✅ উত্তর
সংখ্যাগুরু ≈ 65
[22−16/44−16−14]×10 = 6/14×10≈4.28
সংখ্যাগুরু ≈ 60+5 = 65
✦
2 MarkEmpirical সম্পর্ক ব্যবহার করে গড়=50, মধ্যমা=48 হলে সংখ্যাগুরু কত?
▼
সংখ্যাগুরু = 3×মধ্যমা − 2×গড়
✅ উত্তর
সংখ্যাগুরু = 44
সংখ্যাগুরু = 3×48 − 2×50
= 144 − 100 = 44
✦
2 Markগড় = 60, সংখ্যাগুরু = 54 হলে Empirical সম্পর্কে মধ্যমা কত?
▼
মধ্যমা = (2×গড় + সংখ্যাগুরু) ÷ 3
✅ উত্তর
মধ্যমা = 58
মধ্যমা = (2×60+54)÷3 = 174÷3
= 58
✦
2 Markmodal class 20-30, L=20, f₁=35, f₀=25, f₂=20, h=10। সংখ্যাগুরু কত?
▼
সংখ্যাগুরু = L + [(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)] × h
✅ উত্তর
সংখ্যাগুরু ≈ 24
[35−25/70−25−20]×10 = 10/25×10=4
সংখ্যাগুরু = 20+4 = 24
✦
2 Mark5, 7, 9, 7, 3, 7, 11 সংখ্যাগুলোর গড়, মধ্যমা ও সংখ্যাগুরু নির্ণয় করো।
▼
তিনটি পরিমাপ একসাথে
✅ উত্তর
গড়=7, মধ্যমা=7, সংখ্যাগুরু=7
যোগ=49, গড়=7; সাজিয়ে 4th=7
7 এসেছে 3 বার → সবই 7
★
3 Markনিচের তথ্য থেকে সংখ্যাগুরু (Mode) নির্ণয় করো: শ্রেণি: 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60 | কম্পাঙ্ক: 4, 8, 20, 12, 6
▼
Mode = L + [f₁-f₀ ÷ (2f₁-f₀-f₂)] × h
✅ উত্তর
Mode ≈ ৩৫
Modal class = 30-40 (সর্বোচ্চ frequency = 20)
L=30, f₁=20, f₀=8, f₂=12, h=10
Mode = 30 + [(20-8)÷(40-8-12)]×10 = 30+6 = 36
★
3 Markনিচের তথ্য থেকে Modal Class চিহ্নিত করো এবং Mode নির্ণয় করো: শ্রেণি: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50 | কম্পাঙ্ক: 3, 10, 25, 15, 7
▼
Mode = L + [f₁-f₀ ÷ (2f₁-f₀-f₂)] × h
✅ উত্তর
Modal Class = 20-30, Mode ≈ ২৫.৭১
Modal class = 20-30 (f=25 সর্বোচ্চ)
L=20, f₁=25, f₀=10, f₂=15, h=10
Mode = 20+[(25-10)÷(50-10-15)]×10 = 20+6 = 26
★
3 MarkMean = ৫৪, Median = ৫২ হলে Empirical Formula ব্যবহার করে Mode নির্ণয় করো।
▼
Mode = 3 × Median − 2 × Mean
✅ উত্তর
Mode = ৪৮
Mode = 3×52 − 2×54
= 156 − 108 = 48
★
3 Markনিচের তথ্য থেকে Mode নির্ণয় করো: শ্রেণি: 25-35, 35-45, 45-55, 55-65, 65-75 | কম্পাঙ্ক: 5, 15, 25, 10, 5
▼
Mode = L + [f₁-f₀ ÷ (2f₁-f₀-f₂)] × h
✅ উত্তর
Mode ≈ ৪৮.৩৩
Modal class = 45-55 (f=25 সর্বোচ্চ)
L=45, f₁=25, f₀=15, f₂=10, h=10
Mode = 45+[(25-15)÷(50-15-10)]×10 = 45+4 = 49
★
3 MarkMode নির্ণয় করো: শ্রেণি: 5-15, 15-25, 25-35, 35-45, 45-55 | কম্পাঙ্ক: 2, 8, 20, 12, 8
▼
Mode = L + [f₁-f₀ ÷ (2f₁-f₀-f₂)] × h
✅ উত্তর
Mode ≈ ৩০.৮৩
Modal class = 25-35 (f=20 সর্বোচ্চ)
L=25, f₁=20, f₀=8, f₂=12, h=10
Mode = 25+[12÷(40-8-12)]×10 = 25+6 = 31
★
3 MarkEmpirical formula প্রমাণ করো: Mode, Median ও Mean এর সম্পর্ক উদাহরণসহ বর্ণনা করো।
▼
Mode = 3 Median − 2 Mean (Karl Pearson-এর Empirical formula)
✅ উত্তর
Mode = 3 Median − 2 Mean
এই সম্পর্কটি প্রায় সব symmetric বণ্টনে প্রযোজ্য
উদাহরণ: Mean=20, Median=18 → Mode = 3×18-2×20 = 54-40 = 14
★
3 Markনিচের তথ্য থেকে missing frequency নির্ণয় করো যদি Mode = ৪৫: শ্রেণি: 20-30, 30-40, 40-50, 50-60, 60-70 | কম্পাঙ্ক: 6, 10, f, 8, 4
▼
Mode class = 40-50 হলে f সর্বোচ্চ হতে হবে
✅ উত্তর
Missing frequency f > ১০
Mode = 45 → Modal class = 40-50
সুতরাং f > 10 (আগের class)
L=40, f₁=f, f₀=10, f₂=8, h=10
45 = 40+[(f-10)÷(2f-10-8)]×10 → f = 18
★
3 Mark১০ জনের প্রাপ্ত নম্বর: ৪৫, ৬৭, ৪৫, ৭৩, ৮১, ৪৫, ৬৭, ৪৫, ৭৩, ৪৫ — Mode নির্ণয় করো এবং Mode-এর গুণাবলি লিখ।
▼
Mode = সর্বোচ্চ বারবার আসা মান
✅ উত্তর
Mode = ৪৫
45 এসেছে 5 বার (সর্বোচ্চ)
67→2বার, 73→2বার, 81→1বার
Mode = 45
★
3 MarkMode ও Mean-এর মধ্যে তিনটি পার্থক্য লিখ এবং কোন পরিস্থিতিতে Mode বেশি উপযোগী তা বর্ণনা করো।
▼
Mode = সর্বাধিক বারবার আসা মান | Mean = গাণিতিক গড়
✅ উত্তর
Mode extreme value দ্বারা প্রভাবিত হয় না, তাই বেশি উপযোগী
Mode extreme value দ্বারা প্রভাবিত হয় না
Mode qualitative data-তে ব্যবহার করা যায়
Mode বীজগাণিতিকভাবে পরিচালনাযোগ্য নয়
★
3 Markনিচের তথ্য থেকে Mode নির্ণয় করো: শ্রেণি: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60 | কম্পাঙ্ক: 4, 6, 10, 16, 12, 2
▼
Mode = L + [f₁-f₀ ÷ (2f₁-f₀-f₂)] × h
✅ উত্তর
Mode ≈ ৩৫.৭১
Modal class = 30-40 (f=16 সর্বোচ্চ)
L=30, f₁=16, f₀=10, f₂=12, h=10
Mode = 30+[(16-10)÷(32-10-12)]×10 = 30+6 = 36
1
4 Markনিচের বারম্বারতা বণ্টন থেকে সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো: শ্রেণি: 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60 | কম্পাঙ্ক: 5, 12, 20, 13, 10
▼
সংখ্যাগুরু = L + [f₁-f₀) ÷ (2f₁-f₀-f₂)] × h
✅ উত্তর
সংখ্যাগুরু = 36
সর্বোচ্চ কম্পাঙ্ক = 20 → মোডাল শ্রেণি: 30-40
L=30, f₁=20, f₀=12, f₂=13, h=10
মোড = 30 + [(20-12)÷(40-12-13)]×10 = 30 + [8÷15]×10 = 30+5.33 = 35.33
2
4 Markনিচের বণ্টন থেকে সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো: শ্রেণি: 0-5, 5-10, 10-15, 15-20, 20-25 | কম্পাঙ্ক: 3, 8, 18, 10, 6
▼
সংখ্যাগুরু = L + [(f₁-f₀) ÷ (2f₁-f₀-f₂)] × h
✅ উত্তর
সংখ্যাগুরু = 12.5
মোডাল শ্রেণি: 10-15 (সর্বোচ্চ f = 18)
L=10, f₁=18, f₀=8, f₂=10, h=5
মোড = 10+[(18-8)÷(36-8-10)]×5 = 10+[10÷18]×5 = 10+2.78 = 12.78
3
4 Markগড় = 28, মধ্যমা = 27 হলে সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো। এবং বলো কোন ধরনের বণ্টন?
▼
সংখ্যাগুরু = 3 × মধ্যমা - 2 × গড় (Empirical সম্পর্ক)
✅ উত্তর
সংখ্যাগুরু = 25 (বামাবৃত্ত বণ্টন)
সংখ্যাগুরু = 3 × মধ্যমা - 2 × গড়
= 3 × 27 - 2 × 28 = 81 - 56 = 25
গড় > মধ্যমা > সংখ্যাগুরু → ধনাত্মক বিষমতা (positive skew)
4
4 Markনিচের বণ্টন থেকে সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো: শ্রেণি: 25-35, 35-45, 45-55, 55-65, 65-75 | কম্পাঙ্ক: 7, 15, 25, 18, 5
▼
সংখ্যাগুরু = L + [(f₁-f₀) ÷ (2f₁-f₀-f₂)] × h
✅ উত্তর
সংখ্যাগুরু = 50.71
মোডাল শ্রেণি: 45-55 (f=25)
L=45, f₁=25, f₀=15, f₂=18, h=10
মোড = 45+[(25-15)÷(50-15-18)]×10 = 45+[10÷17]×10 = 45+5.88 = 50.88
5
4 Markসংখ্যাগুরু = 36 এবং গড় = 39 হলে মধ্যমা নির্ণয় করো। Empirical সম্পর্কটি লেখো।
▼
মধ্যমা = (সংখ্যাগুরু + 2 × গড়) ÷ 3
✅ উত্তর
মধ্যমা = 38
Empirical সম্পর্ক: সংখ্যাগুরু = 3 × মধ্যমা - 2 × গড়
36 = 3M - 2×39 = 3M - 78
3M = 114 → M = 38
1
5 Markনিচের বারম্বারতা বণ্টন থেকে গড়, মধ্যমা ও সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো এবং Empirical সম্পর্ক যাচাই করো: শ্রেণি: 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60 | কম্পাঙ্ক: 6, 10, 14, 8, 2
▼
সংখ্যাগুরু ≈ 3 × মধ্যমা - 2 × গড়
✅ উত্তর
গড় = 32.5, মধ্যমা = 32.86, সংখ্যাগুরু = 33.33
N=40, Σfixi = 1300 → গড় = 1300÷40 = 32.5
CF: 6,16,30,38,40 | মধ্যমা শ্রেণি:30-40 | মধ্যমা = 30+[(20-16)÷14]×10 = 32.86
মোডাল শ্রেণি:30-40 | মোড = 30+[(14-10)÷(28-10-8)]×10 = 34
যাচাই: 3×32.86 - 2×32.5 = 98.57-65 = 33.57 ≈ মোড ✓
2
5 Markনিচের বণ্টন থেকে গড় ও সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো এবং বিষমতা (skewness) নির্ধারণ করো: শ্রেণি: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60 | কম্পাঙ্ক: 5, 10, 20, 30, 20, 15
▼
Sk = (গড় - সংখ্যাগুরু) ÷ পরিসর
✅ উত্তর
গড় = 34, সংখ্যাগুরু = 35, ঋণাত্মক বিষমতা
N=100, Σfixi = 3400 → গড় = 34
মোডাল শ্রেণি: 30-40 (f=30) | মোড = 30+[(30-20)÷(60-20-20)]×10 = 30+5 = 35
গড় < মোড → ঋণাত্মক বিষম বণ্টন
3
5 Markসংখ্যাগুরু মান 44.44 এবং গড় = 42। Empirical সম্পর্ক ব্যবহার করে মধ্যমা নির্ণয় করো। এছাড়া নিচের বণ্টন থেকে সরাসরি মধ্যমা নির্ণয় করো: শ্রেণি: 20-30, 30-40, 40-50, 50-60, 60-70 | কম্পাঙ্ক: 8, 14, 20, 12, 6
▼
মধ্যমা = (সংখ্যাগুরু + 2 × গড়) ÷ 3
✅ উত্তর
Empirical মধ্যমা = 42.81, সরাসরি মধ্যমা = 43.5
Empirical: মধ্যমা = (44.44 + 2×42) ÷ 3 = 128.44÷3 = 42.81
N=60, CF: 8,22,42,54,60 | N/2=30 → শ্রেণি 40-50
মধ্যমা = 40+[(30-22)÷20]×10 = 40+4 = 44
4
5 Markনিচের বণ্টন থেকে সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো এবং প্রমাণ করো যে গড়, মধ্যমা ও সংখ্যাগুরুর মধ্যে Empirical সম্পর্ক প্রযোজ্য: শ্রেণি: 5-15, 15-25, 25-35, 35-45, 45-55 | কম্পাঙ্ক: 4, 8, 18, 14, 6
▼
সংখ্যাগুরু ≈ 3 মধ্যমা - 2 গড়
✅ উত্তর
গড় = 31, মধ্যমা = 31.94, সংখ্যাগুরু = 32.86
N=50, Σfixi=1550 → গড় = 31
CF: 4,12,30,44,50 | মধ্যমা শ্রেণি:25-35 | মধ্যমা = 25+[(25-12)÷18]×10 = 32.22
মোড: মোডাল শ্রেণি 25-35 | মোড = 25+[(18-8)÷(36-8-14)]×10 = 32.86
যাচাই: 3×32.22 - 2×31 = 96.67-62 = 34.67 ≈ মোড ✓
5
5 Markএকটি কারখানার শ্রমিকদের বয়স: শ্রেণি: 20-25, 25-30, 30-35, 35-40, 40-45, 45-50 | কম্পাঙ্ক: 6, 12, 20, 18, 10, 4 — গড়, মধ্যমা ও সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো।
▼
গড় = Σfixi÷Σfi, সংখ্যাগুরু = L+[(f₁-f₀)÷(2f₁-f₀-f₂)]×h
✅ উত্তর
গড় = 33.57, মধ্যমা = 33.25, সংখ্যাগুরু = 32.5
N=70, xi:22.5,27.5,32.5,37.5,42.5,47.5 | Σfixi=2350 → গড়=33.57
CF:6,18,38,56,66,70 | মধ্যমা:N/2=35→শ্রেণি 30-35 | মধ্যমা=30+[(35-18)÷20]×5=34.25
মোড:মোডাল শ্রেণি 30-35 | মোড=30+[(20-12)÷(40-12-18)]×5=30+4=34
৭৬
1 MarkLess than ogive অঙ্কন করো।
▼
Less than cf = upper boundary vs cumulative frequency plot
✅ উত্তর
Less than ogive = upper boundary vs cf graph
(upper boundary, cf) বিন্দু plot করো
মসৃণ বক্ররেখায় যোগ করো → Less than ogive
৭৭
1 MarkMore than ogive অঙ্কন করো।
▼
More than cf = lower boundary vs (n − cf) plot
✅ উত্তর
More than ogive = lower boundary vs (n−cf) graph
(lower boundary, n−cf) বিন্দু plot করো
মসৃণ বক্ররেখায় যোগ করো → More than ogive
৭৮
1 MarkOgive graph থেকে median নির্ণয় করো।
▼
y-axis-এ n/2 থেকে curve-এ লম্ব টানো; x-axis-এর মান = Median
✅ উত্তর
Median = ogive-এ n/2 থেকে x-axis মান
y-axis-এ n/2 চিহ্নিত করো
x-axis-এ লম্ব নামাও → Median = M
৭৯
1 MarkCumulative frequency table তৈরি করো।
▼
cf = প্রতিটি শ্রেণির frequency-র running total
✅ উত্তর
cf = ধারাবাহিক যোগফল
ধারাবাহিকভাবে যোগ করো
শেষ cf = n = Σf
৮০
1 MarkLess than ও more than ogive তুলনা করো।
▼
দুটি ogive-এর intersection point-এর x-coordinate = Median
✅ উত্তর
Intersection = Median
Intersection point খোঁজো
x-coordinate = Median
৮১
1 MarkOgive graph থেকে quartile নির্ণয় করো।
▼
Q1 = n/4 থেকে; Q3 = 3n/4 থেকে x-axis মান
✅ উত্তর
Q1 = n/4, Q3 = 3n/4 থেকে
Ogive-এ সেই মান চিহ্নিত করো
x-axis থেকে Q1 ও Q3 পড়ো → Q1, Q3
৮২
1 MarkMedian ogive graph-এ দেখাও।
▼
n/2 থেকে ogive-এ বিন্দু চিহ্নিত করে x-axis-এ Median দেখাও
✅ উত্তর
Median = ogive-এ n/2 level-এর x মান
y-axis-এ n/2 চিহ্নিত করো
x-axis-এ median চিহ্নিত করো → M
৮৩
1 MarkCumulative frequency graph থেকে মান নির্ণয় করো।
▼
graph-এ y মান থেকে লম্ব টেনে x মান পড়ো
✅ উত্তর
cf graph থেকে x মান
curve-এ বিন্দু খোঁজো
x-axis-এ লম্ব নামাও → x
৮৪
1 MarkOgive graph-এ n/2 নির্ণয় করো।
▼
n/2 = মোট frequency-র অর্ধেক; ogive-এ চিহ্নিত করো
✅ উত্তর
n/2 = মোট n ÷ 2
n ÷ 2 = n/2
y-axis-এ n/2 চিহ্নিত করো → n/2
৮৫
1 MarkLess than ogive plot করো।
▼
(upper class boundary, cumulative frequency) বিন্দু plot করো
✅ উত্তর
Less than ogive points plot
Graph paper-এ axes আঁকো
বিন্দু plot করে যোগ করো → ogive
৮৬
1 MarkMore than ogive plot করো।
▼
(lower class boundary, n−cumulative frequency) বিন্দু plot করো
✅ উত্তর
More than ogive points plot
Graph paper-এ plot করো
বিন্দু যোগ করো → ogive
৮৭
1 MarkOgive graph থেকে Q1 নির্ণয় করো।
▼
Q1 = n/4 level থেকে ogive-এ x মান
✅ উত্তর
Q1 = n/4 থেকে x-axis মান
y-axis-এ n/4 চিহ্নিত করো
x-axis-এ মান পড়ো → Q1 = Q1
৮৮
1 MarkOgive graph থেকে Q3 নির্ণয় করো।
▼
Q3 = 3n/4 level থেকে ogive-এ x মান
✅ উত্তর
Q3 = 3n/4 থেকে x-axis মান
y-axis-এ 3n/4 চিহ্নিত করো
x-axis-এ মান পড়ো → Q3 = Q3
৮৯
1 MarkCumulative frequency table তৈরি করো।
▼
cf = running total; শেষ মান = n
✅ উত্তর
cf table = ধারাবাহিক যোগফল
প্রতি শ্রেণির f যোগ করো
Last cf = Σf = n → table
৯০
1 MarkOgive graph থেকে median verify করো।
▼
Formula-র median ও graph-এর median একই হওয়া উচিত
✅ উত্তর
Median verify: formula = graph
Graph থেকেও median পড়ো
দুটো সমান হলে verified
৯১
1 MarkGrouped data থেকে ogive অঙ্কন করো।
▼
cf table তৈরি করো; (boundary, cf) plot করো
✅ উত্তর
Ogive = cf table থেকে graph
Boundary ও cf বিন্দু graph-এ দাও
মসৃণ বক্ররেখা আঁকো → ogive
৯২
1 MarkFrequency table থেকে ogive তৈরি করো।
▼
Frequency → cf table → ogive plot
✅ উত্তর
Ogive = frequency থেকে cf থেকে graph
Graph-এ বিন্দু plot করো
মসৃণভাবে যোগ করো → ogive
৯৩
1 MarkCumulative frequency plot করো।
▼
(class boundary, cf) প্রতিটি বিন্দু graph-এ চিহ্নিত করো
✅ উত্তর
cf plot = graph-এ বিন্দু চিহ্নিত
প্রতিটি (boundary, cf) বিন্দু দাও
বক্ররেখায় যোগ করো → plot
৯৪
1 MarkOgive graph থেকে interquartile range নির্ণয় করো।
▼
IQR = Q3 − Q1; Q1 = n/4, Q3 = 3n/4 থেকে
✅ উত্তর
IQR = Q3 − Q1
Q3 = 3n/4 থেকে graph পড়ো
IQR = Q3 − Q1 = IQR
৯৫
1 MarkOgive graph থেকে median নির্ণয় করো।
▼
n/2 থেকে ogive curve-এ বিন্দু খুঁজে x-axis-এ মান পড়ো
✅ উত্তর
Median = n/2 level-এর x মান
Ogive-এ সেই level চিহ্নিত করো
x-axis মান = Median
৯৬
1 MarkLess than ও more than ogive intersection নির্ণয় করো।
▼
দুটি ogive-এর ছেদবিন্দুর x-coordinate = Median
✅ উত্তর
Intersection x = Median
Intersection খোঁজো
x-coordinate = Median
৯৭
1 MarkCumulative frequency থেকে graph অঙ্কন করো।
▼
(upper boundary, cf) বিন্দু দিয়ে smooth curve
✅ উত্তর
cf graph = smooth ogive curve
(boundary, cf) বিন্দু plot করো
মসৃণ বক্ররেখা → graph
৯৮
1 MarkOgive graph-এ median দেখাও।
▼
n/2 level-এ horizontal line টানো; curve-এ বিন্দু থেকে x-axis-এ vertical line
✅ উত্তর
Median = curve থেকে x-axis-এ
Ogive curve ছুঁলে x-axis-এ লম্ব টানো
সেই মান = Median
৯৯
1 MarkOgive graph থেকে quartile নির্ণয় করো।
▼
Q1=n/4, Q2=n/2(median), Q3=3n/4 level থেকে x মান
✅ উত্তর
Q1, Q2, Q3 = n/4, n/2, 3n/4 থেকে
Ogive-এ তিনটি level চিহ্নিত করো
x-axis থেকে Q1, Q2, Q3 পড়ো → Q1, Q2, Q3
১০০
1 MarkOgive graph analyse করো।
▼
Ogive-এর shape, slope ও median position বিশ্লেষণ করো
✅ উত্তর
Ogive analysis: shape, median, quartile
Median, Q1, Q3 চিহ্নিত করো
IQR ও skewness বিশ্লেষণ করো → analysis
✦
2 MarkLess than ogive থেকে কীভাবে মধ্যমা নির্ণয় করা হয়?
▼
n/2 তে horizontal line টানো, ogive স্পর্শ করলে x-axis এ লম্ব নামাও
✅ উত্তর
Ogive থেকে মধ্যমা = n/2 পয়েন্টের x-মান
n/2 তে সমান্তরাল রেখা টানো
ogive-এর সাথে ছেদবিন্দু থেকে x-axis-এ লম্ব নামাও → মধ্যমা
✦
2 MarkLess than cumulative frequency তৈরি করো: শ্রেণি 0-10: 5, 10-20: 8, 20-30: 12, 30-40: 7।
▼
প্রতিটি শ্রেণির cumulative frequency = পূর্বের সব frequency-র যোগফল
✅ উত্তর
CF: 5, 13, 25, 32
0-10: 5; 10-20: 5+8=13
20-30: 13+12=25; 30-40: 25+7=32
✦
2 MarkMore than ogive-এ y-axis-এ কী দেওয়া হয়?
▼
More than CF = মোট frequency − less than CF
✅ উত্তর
More than cumulative frequency
প্রতিটি lower boundary থেকে তার বেশি সব frequency যোগ
y-axis-এ more than CF দেওয়া হয় → ঘটনার উপরের সীমা
✦
2 MarkLess than ও More than ogive-এর ছেদবিন্দু কী নির্দেশ করে?
▼
ছেদবিন্দুর x-মান = মধ্যমা
✅ উত্তর
মধ্যমা নির্দেশ করে
দুই ogive একে অপরকে যেখানে কাটে
সেই x-মান = মধ্যমা
✦
2 MarkLess than ogive এর বিন্দুগুলো: (10,5), (20,13), (30,25), (40,32)। মধ্যমা আনুমানিক কত?
▼
n/2 = 16 তে x-মান খোঁজো
✅ উত্তর
মধ্যমা ≈ 23
n=32; n/2=16
CF 13 থেকে 25 এর মধ্যে → শ্রেণি 20-30, মধ্যমা ≈ 23
✦
2 MarkOgive graph-এ Q1 (Lower Quartile) কীভাবে নির্ণয় করা হয়?
▼
Q1 = n/4 তম পদের x-মান
✅ উত্তর
y-axis-এ n/4 চিহ্নিত করে x-মান বের করো
y-axis-এ n/4 চিহ্নিত করো
ogive থেকে x-মান পড়ো → Q1
✦
2 Markn=80 হলে Less than ogive থেকে Q3 নির্ণয় করতে y-axis-এ কোন মান চিহ্নিত করতে হবে?
▼
Q3 = 3n/4 তম পদ
✅ উত্তর
y-axis-এ 60 চিহ্নিত করতে হবে
Q3 = 3×80/4 = 60
y-axis-এ 60 চিহ্নিত করো
✦
2 Markশ্রেণি 0-20: f=10, 20-40: f=15, 40-60: f=25, 60-80: f=20, 80-100: f=10। Less than CF তৈরি করো।
▼
প্রতিটি upper boundary পর্যন্ত সঞ্চিত frequency
✅ উত্তর
CF: 10, 25, 50, 70, 80
10; 25; 50; 70; 80
উপরের boundary-তে: 20→10, 40→25, 60→50, 80→70, 100→80
✦
2 MarkLess than ogive-এ IQR = Q3 − Q1। n=100 হলে Q1 ও Q3 কোথায় পড়বে?
▼
Q1 = n/4 = 25তম; Q3 = 3n/4 = 75তম
✅ উত্তর
Q1: y=25, Q3: y=75
Q1 → y-axis-এ 25
Q3 → y-axis-এ 75 → IQR = Q3−Q1
✦
2 MarkOgive graph থেকে কোন তিনটি কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ সরাসরি পাওয়া যায়?
▼
Quartiles Q1, Q2(মধ্যমা), Q3
✅ উত্তর
Q1, মধ্যমা (Q2), Q3
n/4 → Q1; n/2 → Median; 3n/4 → Q3
Ogive থেকে এই তিনটি সরাসরি পাওয়া যায়
✦
2 MarkLess than ogive-এর আকৃতি কেমন হয়?
▼
নিম্ন boundary থেকে উপরের দিকে S-আকৃতির বক্ররেখা
✅ উত্তর
S-আকৃতির (Sigmoid) ঊর্ধ্বমুখী বক্ররেখা
নিচে ধীরে শুরু, মাঝে দ্রুত, উপরে আবার ধীরে
S-আকৃতি → Sigmoid curve
✦
2 MarkMore than ogive-এর x-axis-এ কোন বিন্দুগুলো প্লট করা হয়?
▼
প্রতিটি শ্রেণির lower boundary
✅ উত্তর
শ্রেণির lower boundary (নিচের সীমা)
Less than → upper boundary
More than → lower boundary ব্যবহার করা হয়
★
3 MarkLess than Ogive ও More than Ogive-এর মধ্যে তিনটি পার্থক্য লিখ।
▼
Less than: upper boundary + বাড়ন্ত cf | More than: lower boundary + কমন্ত cf
✅ উত্তর
তিনটি মূল পার্থক্য: boundary, cf দিক, আকৃতি
Less than: upper boundary ব্যবহার, cf বাড়ে
More than: lower boundary ব্যবহার, cf কমে
Less than: ঊর্ধ্বমুখী S-curve | More than: নিম্নমুখী S-curve
★
3 Markনিচের তথ্য থেকে Less than Ogive-এর সারণি তৈরি করো এবং Median নির্ণয় করো: শ্রেণি: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50 | কম্পাঙ্ক: 4, 8, 14, 10, 4
▼
N/2 তম বিন্দু Ogive থেকে মধ্যমা নির্ণয় করা হয়
✅ উত্তর
মধ্যমা ≈ ২৫
Less than cf: 4, 12, 26, 36, 40
N=40, N/2=20 → y=20 হলে x=? → মধ্যমা
20-30 class: L=20, cf=12, f=14
মধ্যমা = 20+[(20-12)÷14]×10 = 20+5.7 ≈ 25.7
★
3 MarkLess than ও More than Ogive একসাথে আঁকলে তাদের ছেদবিন্দুর x-coordinate কী নির্দেশ করে? বিস্তারিত কারণ বর্ণনা করো।
▼
ছেদবিন্দুতে less than cf = more than cf = N/2
✅ উত্তর
ছেদবিন্দুর x-coordinate = মধ্যমা (Median)
ছেদবিন্দুতে: less than cf = more than cf
এবং এই দুটো cf-এর যোগফল = N
তাই প্রতিটি = N/2 → মধ্যমার সংজ্ঞা
★
3 Markনিচের তথ্য থেকে More than Ogive-এর সারণি তৈরি করো: শ্রেণি: 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60 | কম্পাঙ্ক: 6, 10, 18, 12, 4
▼
More than ogive: lower boundary ও descending cumulative frequency
✅ উত্তর
বিন্দু: (10,50), (20,44), (30,34), (40,16), (50,4)
More than 10: সব = 50
More than 20: 50-6 = 44
More than 30: 44-10 = 34
More than 40: 34-18 = 16 | More than 50: 16-12 = 4
★
3 MarkOgive curve ব্যবহার করে Median নির্ণয়ের ধাপগুলো বিস্তারিত বর্ণনা করো (N=60 ধরে)।
▼
N/2 = 30 তম মান → Ogive-এ y=30 টানো → x-axis-এ মধ্যমা
✅ উত্তর
Ogive থেকে Median নির্ণয়ের সঠিক পদ্ধতি
ধাপ ১: Less than ogive আঁকো
ধাপ ২: y-axis-এ N/2=30 চিহ্নিত করো
ধাপ ৩: y=30 থেকে curve-এ সমান্তরাল রেখা টানো
ধাপ ৪: curve থেকে x-axis-এ লম্ব নামাও → মধ্যমা
★
3 MarkLess than Ogive আঁকতে x-axis ও y-axis-এ কী কী রাখতে হয়? Ogive-এর আকৃতি কেমন হয়?
▼
x-axis: upper class boundary | y-axis: cumulative frequency
✅ উত্তর
x-axis = upper boundary, y-axis = cf, আকৃতি = S বা Sigmoid
x-axis: শ্রেণির উপরের সীমা (upper boundary)
y-axis: ক্রমযোজিত কম্পাঙ্ক (cumulative frequency)
আকৃতি: S-আকৃতির (Sigmoid curve)
★
3 Markনিচের তথ্য থেকে Less than cumulative frequency table তৈরি করো এবং Less than Ogive-এর বিন্দুগুলো লেখো: শ্রেণি: 20-30, 30-40, 40-50, 50-60, 60-70 | কম্পাঙ্ক: 10, 15, 25, 20, 10
▼
প্রতিটি upper boundary-র সাথে cumulative frequency যুক্ত করো
✅ উত্তর
বিন্দু: (30,10), (40,25), (50,50), (60,70), (70,80)
Less than 30: 10
Less than 40: 10+15=25
Less than 50: 25+25=50 | Less than 60: 50+20=70 | Less than 70: 70+10=80
★
3 MarkOgive ও Histogram-এর মধ্যে তিনটি পার্থক্য লিখ।
▼
Ogive = cumulative frequency curve | Histogram = frequency আয়তক্ষেত্র
✅ উত্তর
তিনটি মূল পার্থক্য
Histogram: frequency দেখায় | Ogive: cumulative frequency দেখায়
Histogram: আয়তক্ষেত্র | Ogive: মসৃণ বক্ররেখা
Histogram থেকে Median সরাসরি পাওয়া যায় না, Ogive থেকে যায়
★
3 MarkLess than Ogive সবসময় ঊর্ধ্বমুখী হয় কেন? S-আকৃতির কারণ কী? বিস্তারিত বর্ণনা করো।
▼
Cumulative frequency কখনো কমে না → Ogive সবসময় ঊর্ধ্বমুখী
✅ উত্তর
Cumulative frequency সবসময় বাড়ে বলে Ogive ঊর্ধ্বমুখী
cf কখনো কমে না (শুধু বাড়ে বা একই থাকে)
তাই Less than Ogive সবসময় ঊর্ধ্বমুখী
শুরু ও শেষে ছোট frequency → মাঝে বড় frequency → S আকৃতি
★
3 MarkN = ৮০ হলে Less than Ogive থেকে Q₁ (প্রথম চতুর্ভাগ) ও Q₃ (তৃতীয় চতুর্ভাগ) নির্ণয়ের পদ্ধতি বর্ণনা করো।
▼
Q₁ = N/4 তম মান, Q₃ = 3N/4 তম মান (Ogive থেকে)
✅ উত্তর
Q₁: y = N/4 = 20 | Q₃: y = 3N/4 = 60
Q₁: y-axis-এ N/4=20 চিহ্নিত করো → x পাবে Q₁
Q₃: y-axis-এ 3N/4=60 চিহ্নিত করো → x পাবে Q₃
1
4 Markনিচের বণ্টন থেকে 'Less than Ogive' তৈরির জন্য বিন্দু নির্ণয় করো এবং N=60 হলে Ogive থেকে মধ্যমা নির্ণয়ের পদ্ধতি বর্ণনা করো: শ্রেণি: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50 | কম্পাঙ্ক: 6, 12, 20, 14, 8
▼
Less than Ogive: (উচ্চসীমা, ক্রমযোজিত কম্পাঙ্ক) বিন্দু
✅ উত্তর
মধ্যমা: y=N/2=30 থেকে x পড়ো ≈ 30
Less than বিন্দু: (10,6),(20,18),(30,38),(40,52),(50,60)
y-axis-এ N/2 = 30 চিহ্নিত করো
Ogive বক্র থেকে x-axis-এ লম্ব নামাও → মধ্যমা পাবে
2
4 Markনিচের তথ্য থেকে 'More than Ogive' তৈরির বিন্দু নির্ণয় করো: শ্রেণি: 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60 | কম্পাঙ্ক: 5, 10, 20, 12, 3
▼
More than Ogive: (নিম্নসীমা, ক্রমযোজিত কম্পাঙ্ক বেশি থেকে)
✅ উত্তর
বিন্দু: (10,50),(20,45),(30,35),(40,15),(50,3),(60,0)
মোট N = 5+10+20+12+3 = 50
More than CF: 50,45,35,15,3,0
বিন্দু: (10,50),(20,45),(30,35),(40,15),(50,3),(60,0)
3
4 MarkLess than ও More than Ogive একই লেখচিত্রে আঁকলে তারা একটি বিন্দুতে ছেদ করে। এই ছেদবিন্দুর তাৎপর্য কী? N=80 হলে মধ্যমা কোথায় পড়বে বলো।
▼
Less than ও More than Ogive-এর ছেদবিন্দু = মধ্যমা
✅ উত্তর
ছেদবিন্দুর x-স্থানাঙ্ক = মধ্যমা | y = N/2 = 40
দুটি Ogive আঁকলে তারা (মধ্যমা, N/2) বিন্দুতে মিলিত হয়
N=80 হলে ছেদবিন্দুর y-স্থানাঙ্ক = N/2 = 40
ছেদবিন্দুর x-স্থানাঙ্ক = মধ্যমা
4
4 MarkN=100 হলে Less than Ogive থেকে P₂₅, P₅₀ ও P₇₅ (Percentile) নির্ণয়ের পদ্ধতি বর্ণনা করো।
▼
Pₖ: y-axis-এ kN/100 চিহ্নিত করে Ogive থেকে x পড়ো
✅ উত্তর
P₂₅=y=25, P₅₀=y=50, P₇₅=y=75 থেকে x পড়ো
P₂₅: y-axis-এ 25N/100=25 চিহ্নিত করো → x পাবে P₂₅
P₅₀: y-axis-এ 50 → x পাবে P₅₀ (=মধ্যমা)
P₇₅: y-axis-এ 75 → x পাবে P₇₅
5
4 Markনিচের বণ্টন থেকে Less than Ogive-এর বিন্দু নির্ণয় করো এবং N=80 হলে Q₁ ও Q₃ কোথায় পাবে বলো: শ্রেণি: 0-20, 20-40, 40-60, 60-80, 80-100 | কম্পাঙ্ক: 10, 20, 25, 15, 10
▼
Q₁: y=N/4=20, Q₃: y=3N/4=60 চিহ্নিত করো
✅ উত্তর
বিন্দু: (20,10),(40,30),(60,55),(80,70),(100,80)
CF: 10,30,55,70,80
Less than বিন্দু: (20,10),(40,30),(60,55),(80,70),(100,80)
Q₁: y=20 → Ogive থেকে x পড়ো | Q₃: y=60 → x পড়ো
1
5 Markনিচের বারম্বারতা বণ্টন থেকে Less than ও More than Ogive উভয়ের বিন্দু নির্ণয় করো। উভয় বক্র একই লেখচিত্রে এঁকে মধ্যমা নির্ণয়ের পদ্ধতি বর্ণনা করো: শ্রেণি: 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60 | কম্পাঙ্ক: 8, 14, 18, 12, 8
▼
ছেদবিন্দুর x-স্থানাঙ্ক = মধ্যমা
✅ উত্তর
মধ্যমা ≈ 35
N=60, Less than CF: 8,22,40,52,60
Less than বিন্দু: (20,8),(30,22),(40,40),(50,52),(60,60)
More than বিন্দু: (10,60),(20,52),(30,38),(40,20),(50,8),(60,0)
ছেদবিন্দুর x ≈ 35 = মধ্যমা
2
5 Markনিচের বণ্টন থেকে Less than Ogive-এর বিন্দু নির্ণয় করো এবং Ogive থেকে মধ্যমা, Q₁, Q₃ ও IQR নির্ণয়ের পদ্ধতি ধাপে ধাপে বর্ণনা করো: শ্রেণি: 20-30, 30-40, 40-50, 50-60, 60-70, 70-80 | কম্পাঙ্ক: 5, 10, 20, 25, 15, 5
▼
IQR = Q₃ - Q₁ (Ogive থেকে)
✅ উত্তর
মধ্যমা ≈ 56, Q₁ ≈ 47, Q₃ ≈ 64, IQR ≈ 17
N=80, CF: 5,15,35,60,75,80
Less than বিন্দু: (30,5),(40,15),(50,35),(60,60),(70,75),(80,80)
মধ্যমা: y=40→x≈56 | Q₁: y=20→x≈47 | Q₃: y=60→x≈64
IQR = Q₃-Q₁ ≈ 64-47 = 17
3
5 Markএকটি বিদ্যালয়ের ১০০ জন ছাত্রের নম্বর: শ্রেণি: 0-20, 20-40, 40-60, 60-80, 80-100 | কম্পাঙ্ক: 10, 20, 40, 20, 10 — Less than Ogive তৈরি করো এবং গ্রাফ থেকে মধ্যমা ও D₅ (5ম Decile) নির্ণয়ের পদ্ধতি বর্ণনা করো।
▼
D₅ = P₅₀ = মধ্যমা | y = 5N/10 = N/2
✅ উত্তর
মধ্যমা = D₅ = 50
CF: 10,30,70,90,100
Less than বিন্দু: (20,10),(40,30),(60,70),(80,90),(100,100)
মধ্যমা: y=50 → x=50 | D₅: y=5×100/10=50 → x=50 (মধ্যমা=D₅)
4
5 Markনিচের 'Less than' ক্রমযোজিত বণ্টন থেকে Less than Ogive বিন্দু নির্ণয় করো এবং মধ্যমা ও অন্তঃচতুর্ভাগ ব্যবধান (IQR) গ্রাফিক পদ্ধতিতে নির্ণয়ের ধাপ বর্ণনা করো: 10 এর কম: 8, 20 এর কম: 22, 30 এর কম: 42, 40 এর কম: 62, 50 এর কম: 74, 60 এর কম: 80
▼
IQR = Q₃ - Q₁ (গ্রাফ থেকে)
✅ উত্তর
মধ্যমা ≈ 32, Q₁ ≈ 23, Q₃ ≈ 43, IQR ≈ 20
Less than বিন্দু: (10,8),(20,22),(30,42),(40,62),(50,74),(60,80)
N=80 | মধ্যমা: y=40→x≈30 | Q₁: y=20→x≈22 | Q₃: y=60→x≈43
IQR = Q₃-Q₁ ≈ 43-22 = 21
5
5 Markনিচের বারম্বারতা বণ্টন থেকে Less than ও More than উভয় Ogive-এর বিন্দু নির্ণয় করো। উভয় Ogive-এর ছেদবিন্দু থেকে মধ্যমা নির্ণয় করো এবং Q₁, Q₃, IQR গণনা করো: শ্রেণি: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60, 60-70 | কম্পাঙ্ক: 5, 8, 12, 20, 18, 12, 5
▼
মধ্যমা = ছেদবিন্দুর x-স্থানাঙ্ক
✅ উত্তর
মধ্যমা = 37, Q₁ = 27, Q₃ = 47, IQR = 20
N=80, Less than CF: 5,13,25,45,63,75,80
Less than বিন্দু: (10,5),(20,13),(30,25),(40,45),(50,63),(60,75),(70,80)
More than বিন্দু: (0,80),(10,75),(20,67),(30,55),(40,35),(50,17),(60,5),(70,0)
ছেদবিন্দু x ≈ 37 = মধ্যমা | Q₁≈27, Q₃≈47, IQR≈20