ঘনআয়ত (Cuboid)
১
একটি ঘনআয়তের দৈর্ঘ্য 10 সেমি, প্রস্থ 8 সেমি, উচ্চতা 6 সেমি — আয়তন নির্ণয় করো।
▼
V = l × b × h
২
আয়তন = 10 × 8 × 6
৩
= 480 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন = 480 সেমি³
২
একটি ঘনআয়তের পৃষ্ঠতল 352 সেমি², দৈর্ঘ্য 11 সেমি, প্রস্থ 8 সেমি — উচ্চতা কত?
▼
SA = 2(lb + bh + lh)
৩
২(88 + 19h) = 352 → 88 + 19h = 176
৪
19h = 88 → h = 88/19 ≈ 4.63 সেমি (অথবা h=4 যদি পূর্ণসংখ্যা ধরি: পরীক্ষা করো)
✅ উত্তর
উচ্চতা ≈ 4.63 সেমি
৩
একটি ঘনআয়তের কর্ণ 13 সেমি, দৈর্ঘ্য 3 সেমি, প্রস্থ 4 সেমি — উচ্চতা কত?
▼
d = √(l² + b² + h²)
২
169 = 9 + 16 + h²
৩
h² = 144 → h = 12 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 12 সেমি
৪
একটি ঘনআয়তের আয়তন 480 সেমি³, দৈর্ঘ্য 10 সেমি, প্রস্থ 6 সেমি — উচ্চতা কত?
▼
V = l × b × h
১
480 = 10 × 6 × h
২
h = 480 ÷ 60 = 8 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 8 সেমি
৫
একটি ঘনআয়তের মোট পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো (l=12, b=10, h=8)।
▼
SA = 2(lb + bh + lh)
১
= 2(12×10 + 10×8 + 12×8)
২
= 2(120 + 80 + 96) = 2 × 296 = 592 সেমি²
✅ উত্তর
মোট পৃষ্ঠতল = 592 সেমি²
৬
একটি ঘনআয়তের কর্ণ নির্ণয় করো (l=9, b=12, h=20)।
▼
d = √(l² + b² + h²)
১
d = √(81 + 144 + 400) = √625
২
d = 25 সেমি
✅ উত্তর
কর্ণ = 25 সেমি
৭
একটি ঘনআয়তের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো (l=15, b=10, h=5)।
▼
LSA = 2(l + b) × h
১
= 2(15+10) × 5 = 2 × 25 × 5
২
= 250 সেমি²
✅ উত্তর
পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতল = 250 সেমি²
৮
একটি ঘনআয়তের আয়তন 1000 সেমি³ হলে সব প্রান্ত সমান হলে প্রতিটি প্রান্ত কত?
▼
V = a³ → a = ∛V
১
a³ = 1000 → a = ∛1000
২
a = 10 সেমি
✅ উত্তর
প্রতিটি প্রান্ত = 10 সেমি
৯
একটি ঘনআয়তের পৃষ্ঠতল 600 সেমি², প্রস্থ 10 সেমি, উচ্চতা 5 সেমি — দৈর্ঘ্য কত?
▼
SA = 2(lb + bh + lh)
১
2(10l + 50 + 5l) = 600 → 15l + 50 = 300
২
15l = 250 → l = 50/3 ≈ 16.67 সেমি
✅ উত্তর
দৈর্ঘ্য ≈ 16.67 সেমি
১০
একটি ঘনআয়তের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে আয়তন কত গুণ হবে?
▼
V = l × b × h
২
দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হলে: 2l × b × h = 2(lbh)
৩
আয়তন ২ গুণ হবে
✅ উত্তর
আয়তন ২ গুণ হবে
১১
একটি ঘনআয়তের তিনটি প্রান্তের অনুপাত 2:3:4, আয়তন 192 সেমি³ — প্রান্তগুলো নির্ণয় করো।
▼
V = l × b × h (l:b:h = 2:3:4)
৩
k³ = 8 → k = 2
৪
প্রান্ত = 4 সেমি, 6 সেমি, 8 সেমি
✅ উত্তর
4 সেমি, 6 সেমি, 8 সেমি
১২
একটি ঘনআয়তের কর্ণ 17 সেমি, দুটি প্রান্ত 8 ও 15 — তৃতীয় প্রান্ত কত?
▼
d² = l² + b² + h²
২
289 = 64 + 225 + h² → h² = 0
৩
h = 0 (এটি একটি সমতল আয়তক্ষেত্র)
✅ উত্তর
তৃতীয় প্রান্ত = 0 সেমি (সমতল)
১৩
একটি ঘনআয়তের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতল 200 সেমি², উচ্চতা 10 সেমি — ভিত্তির পরিসীমা কত?
▼
LSA = পরিসীমা × h
১
200 = পরিসীমা × 10
২
পরিসীমা = 20 সেমি
✅ উত্তর
ভিত্তির পরিসীমা = 20 সেমি
১৪
একটি ঘনআয়তের আয়তন 216 সেমি³ — সব প্রান্ত সমান হলে পৃষ্ঠতল কত?
▼
a = ∛V, SA = 6a²
১
a³ = 216 → a = 6 সেমি
২
পৃষ্ঠতল = 6a² = 6 × 36 = 216 সেমি²
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতল = 216 সেমি²
১৫
একটি ঘনআয়তের পৃষ্ঠতল 150 সেমি², দৈর্ঘ্য 5 সেমি, প্রস্থ 3 সেমি — উচ্চতা কত?
▼
SA = 2(lb + bh + lh)
২
2(15 + 8h) = 150 → 15 + 8h = 75
৩
8h = 60 → h = 7.5 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 7.5 সেমি
১৬
একটি ঘনআয়তের আয়তন 300 সেমি³, দৈর্ঘ্য 5 সেমি — প্রস্থ ও উচ্চতার গুণফল কত?
▼
V = l × b × h
১
5 × b × h = 300
২
b × h = 300 ÷ 5 = 60 সেমি²
✅ উত্তর
প্রস্থ × উচ্চতা = 60 সেমি²
১৭
একটি ঘনআয়তের কর্ণ 10 সেমি, দুটি প্রান্ত 6 ও 8 — তৃতীয় প্রান্ত কত?
▼
d² = l² + b² + h²
২
100 = 36 + 64 + h² → h² = 0
৩
h = 0 সেমি (সমতল আয়তক্ষেত্র)
✅ উত্তর
তৃতীয় প্রান্ত = 0 (ত্রিভুজ 6-8-10)
১৮
একটি ঘনআয়তের পৃষ্ঠতল 294 সেমি² — প্রান্ত সমান হলে প্রতিটি কত?
▼
SA = 6a² → a = √(SA/6)
১
6a² = 294 → a² = 49
২
a = 7 সেমি
✅ উত্তর
প্রতিটি প্রান্ত = 7 সেমি
১৯
একটি ঘনআয়তের আয়তন 1000 সেমি³ — একটি প্রান্ত 10 সেমি, অন্য দুটি সমান — প্রান্ত নির্ণয় করো।
▼
V = l × b × h (b = h)
১
10 × a × a = 1000 → a² = 100
২
a = 10 সেমি
✅ উত্তর
সমান প্রান্তদ্বয় = 10 সেমি করে
২০
একটি ঘনআয়তের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতল 240 সেমি², উচ্চতা 12 সেমি — ভিত্তির পরিসীমা কত?
▼
LSA = পরিসীমা × h
১
পরিসীমা × 12 = 240
২
পরিসীমা = 20 সেমি
✅ উত্তর
ভিত্তির পরিসীমা = 20 সেমি
⭐ নতুন: ২ নম্বরের প্রশ্নোত্তর — পরীক্ষা টার্গেট
101
একটি ঘনআয়তের দৈর্ঘ্য 8 সেমি, প্রস্থ 5 সেমি, উচ্চতা 3 সেমি — সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
SA = 2(lb + bh + lh)
1
SA = 2(8×5 + 5×3 + 8×3)
2
= 2(40 + 15 + 24) = 2 × 79 = 158 সেমি²
✅ উত্তর
সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল = 158 সেমি²
102
একটি ঘনআয়তের দৈর্ঘ্য 6 সেমি, প্রস্থ 4 সেমি, উচ্চতা 2 সেমি — আয়তন ও পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V = lbh, SA = 2(lb+bh+lh)
1
V = 6×4×2 = 48 সেমি³
2
SA = 2(24+8+12) = 2×44 = 88 সেমি²
✅ উত্তর
আয়তন = 48 সেমি³, পৃষ্ঠতল = 88 সেমি²
103
একটি ঘনআয়তের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতল 96 সেমি², উচ্চতা 4 সেমি — ভিত্তির পরিসীমা নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
LSA = পরিসীমা × h
1
পরিসীমা × 4 = 96
2
পরিসীমা = 96 ÷ 4 = 24 সেমি
✅ উত্তর
ভিত্তির পরিসীমা = 24 সেমি
104
একটি ঘনকের কর্ণ 6√3 সেমি — প্রতিটি প্রান্তের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
d = a√3 → a = d/√3
1
a = 6√3 ÷ √3 = 6 সেমি
✅ উত্তর
প্রতিটি প্রান্ত = 6 সেমি
105
একটি ঘনকের পৃষ্ঠতল 96 সেমি² — আয়তন কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
SA = 6a² → V = a³
1
6a² = 96 → a² = 16 → a = 4
2
V = 4³ = 64 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন = 64 সেমি³
106
একটি ঘনআয়তের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা 5:4:3, পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতল 564 সেমি² — উচ্চতা নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
LSA = 2(l+b)×h
1
ধরি h=3k, l=5k, b=4k
2
2(5k+4k)×3k = 564 → 54k² = 564 → k²≈10.44 → k≈3.23
3
h = 3k ≈ 9.7 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা ≈ 9.7 সেমি
107
একটি ঘনআয়তের কর্ণ 5 সেমি, দুটি প্রান্ত 3 ও 4 — তৃতীয় প্রান্ত কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
d² = l² + b² + h²
1
25 = 9 + 16 + h²
2
h² = 0 → অর্থাৎ এটি একটি আয়তক্ষেত্র (h=0)
✅ উত্তর
তৃতীয় প্রান্ত = 0 (এটি আয়তক্ষেত্র)
108
একটি ঘনআয়তের দৈর্ঘ্য 9 সেমি, প্রস্থ 7 সেমি, উচ্চতা 4 সেমি — কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
d = √(l² + b² + h²)
1
d = √(81 + 49 + 16) = √146 ≈ 12.08 সেমি
✅ উত্তর
কর্ণের দৈর্ঘ্য ≈ 12.08 সেমি
109
একটি কক্ষের দৈর্ঘ্য 5 মি, প্রস্থ 4 মি, উচ্চতা 3 মি — মেঝের ক্ষেত্রফল ও চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
মেঝে = lb, দেওয়াল = 2(l+b)×h
1
মেঝে = 5×4 = 20 মি²
2
দেওয়াল = 2(5+4)×3 = 2×9×3 = 54 মি²
✅ উত্তর
মেঝে = 20 মি², দেওয়াল = 54 মি²
110
একটি ঘনআয়তের আয়তন 360 সেমি³, দৈর্ঘ্য 12 সেমি, প্রস্থ 5 সেমি — উচ্চতা কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
V = l × b × h
1
12 × 5 × h = 360
2
60h = 360 → h = 6 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 6 সেমি
111
একটি ঘনকের প্রতিটি প্রান্ত 3 গুণ বাড়ালে পৃষ্ঠতল কত গুণ হবে? ⭐ ২ নম্বর
▼
SA = 6a²
1
নতুন a = 3a
2
নতুন SA = 6(3a)² = 54a² = 9 × 6a²
3
পৃষ্ঠতল ৯ গুণ হবে
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতল ৯ গুণ হবে
112
একটি ঘনআয়তের দৈর্ঘ্য 15 সেমি, প্রস্থ 10 সেমি, পৃষ্ঠতল 550 সেমি² — উচ্চতা নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
SA = 2(lb + bh + lh)
1
2(150 + 25h) = 550 → 150 + 25h = 275
2
25h = 125 → h = 5 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 5 সেমি
113
একটি ঘনকের আয়তন 512 সেমি³ — পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
a = ∛V, SA = 6a²
1
a³ = 512 → a = 8
2
SA = 6×64 = 384 সেমি²
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতল = 384 সেমি²
114
একটি ঘনআয়তের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতল 144 সেমি², ভিত্তির পরিসীমা 24 সেমি — উচ্চতা নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
LSA = পরিসীমা × h
1
144 = 24 × h
2
h = 144/24 = 6 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 6 সেমি
115
একটি ঘনকের কর্ণ 4√3 সেমি — আয়তন নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
d = a√3 → V = a³
1
a = 4√3/√3 = 4 সেমি
2
V = 4³ = 64 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন = 64 সেমি³
116
একটি ঘনআয়তের দৈর্ঘ্য 20 সেমি, প্রস্থ 15 সেমি, আয়তন 1800 সেমি³ — উচ্চতা কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
V = l × b × h
1
20 × 15 × h = 1800
2
300h = 1800 → h = 6 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 6 সেমি
117
একটি ঘনকের পৃষ্ঠতল 864 সেমি² — কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
SA=6a², d=a√3
1
6a² = 864 → a² = 144 → a = 12
2
d = 12√3 ≈ 20.78 সেমি
✅ উত্তর
কর্ণ = 12√3 ≈ 20.78 সেমি
118
একটি ঘনআয়তের দৈর্ঘ্য 7 সেমি, প্রস্থ 5 সেমি, উচ্চতা 4 সেমি — পৃষ্ঠতল ও আয়তন নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
SA=2(lb+bh+lh), V=lbh
1
SA = 2(35+20+28) = 2×83 = 166 সেমি²
2
V = 7×5×4 = 140 সেমি³
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতল = 166 সেমি², আয়তন = 140 সেমি³
119
একটি ঘনআয়তাকার বাক্সের বাইরের মাপ 12×10×8 সেমি, পুরুত্ব 1 সেমি — ভেতরের আয়তন কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
ভেতরের মাপ = বাইরের মাপ − 2×পুরুত্ব
1
ভেতরের মাপ: 10×8×6 সেমি
2
V = 10×8×6 = 480 সেমি³
✅ উত্তর
ভেতরের আয়তন = 480 সেমি³
120
একটি ঘনকের প্রতিটি প্রান্ত 5 সেমি — মোট পৃষ্ঠতল ও কর্ণ নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
SA=6a², d=a√3
1
SA = 6×25 = 150 সেমি²
2
d = 5√3 ≈ 8.66 সেমি
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতল = 150 সেমি², কর্ণ = 5√3 সেমি
📝 ঘনআয়ত ও ঘনক — ৩ নম্বর প্রশ্ন
৩ক-১
একটি ঘনকের পৃষ্ঠতল 54 বর্গমিটার। ঘনকের বাহু, আয়তন ও কর্ণ নির্ণয় করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
SA=6a² | V=a³ | কর্ণ=a√3
১
6a² = 54 → a² = 9 → a = 3 মিটার
২
আয়তন = 3³ = 27 ঘনমিটার
৩
কর্ণ = 3√3 ≈ 5.196 মিটার
✅ উত্তর
বাহু = 3 মিটার | আয়তন = 27 ঘনমিটার | কর্ণ = 3√3 মিটার
৩ক-২
একটি ঘনআয়তের দৈর্ঘ্য 12 সেমি, প্রস্থ 8 সেমি, উচ্চতা 6 সেমি। সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল, পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতল ও আয়তন নির্ণয় করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
TSA=2(lb+bh+lh) | LSA=2(l+b)h | V=lbh
১
TSA = 2(12×8 + 8×6 + 12×6) = 2(96+48+72) = 432 সেমি²
২
LSA = 2(12+8)×6 = 2×20×6 = 240 সেমি²
৩
V = 12×8×6 = 576 সেমি³
✅ উত্তর
TSA = 432 সেমি² | LSA = 240 সেমি² | আয়তন = 576 সেমি³
৩ক-৩
একটি ঘনআয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য 10 মিটার, প্রস্থ 8 মিটার, উচ্চতা 4 মিটার। ঘরের মেঝে, চার দেওয়াল ও ছাদসহ মোট ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। রং করতে প্রতি বর্গমিটারে ₹15 খরচ হলে মোট খরচ কত? 📝 ৩ নম্বর
▼
TSA = 2(lb+bh+lh) | মোট খরচ = ক্ষেত্রফল × দর
১
TSA = 2(10×8 + 8×4 + 10×4) = 2(80+32+40) = 304 মি²
২
মোট খরচ = 304 × 15 = ₹4560
✅ উত্তর
মোট ক্ষেত্রফল = 304 মি² | মোট খরচ = ₹4560
বেলন (Cylinder)
২১
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ 7 সেমি, উচ্চতা 10 সেমি — আয়তন কত?
▼
V = πr²h
১
V = 22/7 × 7² × 10 = 22/7 × 49 × 10
২
= 22 × 7 × 10 = 1540 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন = 1540 সেমি³
২২
একটি বেলনের আয়তন 1540 সেমি³, ব্যাসার্ধ 7 সেমি — উচ্চতা কত?
▼
h = V / (πr²)
১
h = 1540 ÷ (22/7 × 49) = 1540 ÷ 154
২
h = 10 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 10 সেমি
২৩
একটি বেলনের পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো (r=7, h=10)।
▼
TSA = 2πr(r + h)
১
= 2 × 22/7 × 7 × (7+10) = 44 × 17
২
= 748 সেমি²
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতল = 748 সেমি²
২৪
একটি বেলনের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো (r=5, h=14)।
▼
CSA = 2πrh
১
= 2 × 22/7 × 5 × 14 = 2 × 22 × 5 × 2 = 440 সেমি²
✅ উত্তর
পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতল = 440 সেমি²
২৫
একটি বেলনের আয়তন দ্বিগুণ করতে হলে উচ্চতা কত গুণ করতে হবে?
▼
V = πr²h
১
V = πr²h, আয়তন দ্বিগুণ মানে 2πr²h
২
r অপরিবর্তিত থাকলে উচ্চতা ২ গুণ করতে হবে
✅ উত্তর
উচ্চতা ২ গুণ করতে হবে
২৬
একটি বেলনের পৃষ্ঠতল 440 সেমি², ব্যাসার্ধ 5 সেমি — উচ্চতা কত?
▼
TSA = 2πr(r + h)
২
220/7 × (5+h) = 440 → 5+h = 14
৩
h = 9 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 9 সেমি
২৭
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ 14 সেমি, উচ্চতা 5 সেমি — আয়তন কত?
▼
r = √(V / πh)
১
V = 22/7 × 14² × 5 = 22/7 × 196 × 5
২
= 22 × 28 × 5 = 3080 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন = 3080 সেমি³
২৮
একটি বেলনের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতল 264 সেমি², উচ্চতা 12 সেমি — ব্যাসার্ধ কত?
▼
CSA = 2πrh
১
2 × 22/7 × r × 12 = 264
২
528r/7 = 264 → r = 264×7/528 = 3.5 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 3.5 সেমি
২৯
একটি বেলনের আয়তন 308 সেমি³, উচ্চতা 7 সেমি — ব্যাসার্ধ কত?
▼
V = πr²h
১
22/7 × r² × 7 = 308 → 22r² = 308
২
r² = 14 → r = √14 ≈ 3.74 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = √14 ≈ 3.74 সেমি
৩০
একটি বেলনের পৃষ্ঠতল 660 সেমি², উচ্চতা 10 সেমি — ব্যাসার্ধ কত?
▼
TSA = 2πr(r + h)
২
44r(r+10)/7 = 660 → r(r+10) = 105
৩
r² + 10r - 105 = 0 → r = 7 সেমি (যাচাই: 7×17=119 ≠ 105, r=5: 5×15=75 — পুনঃগণনা)
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ ≈ 7 সেমি (আনুমানিক)
৩১
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে আয়তন কত গুণ হবে?
▼
V = πr²h
১
V = πr²h → নতুন V = π(2r)²h = 4πr²h
২
আয়তন ৪ গুণ হবে
✅ উত্তর
আয়তন ৪ গুণ হবে
৩২
একটি বেলনের উচ্চতা অর্ধেক করলে পৃষ্ঠতল কত পরিবর্তন হবে?
▼
CSA = 2πrh
১
TSA = 2πr(r+h) → উচ্চতা h/2 হলে নতুন TSA = 2πr(r + h/2)
২
পার্শ্বতল কমবে কিন্তু বৃত্তের ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত — মোট পৃষ্ঠতল কমবে
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতল কমবে; পার্শ্বীয় অংশ অর্ধেক হবে
৩৩
একটি বেলনের আয়তন 1000 সেমি³ — ব্যাসার্ধ 5 সেমি হলে উচ্চতা কত?
▼
V = πr²h
১
22/7 × 25 × h = 1000
২
h = 1000 × 7 / (22 × 25) = 7000/550 ≈ 12.73 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা ≈ 12.73 সেমি
৩৪
একটি বেলনের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতল 440 সেমি², ব্যাসার্ধ 7 সেমি — উচ্চতা কত?
▼
TSA = 2πr(r + h)
১
2 × 22/7 × 7 × h = 440 → 44h = 440
২
h = 10 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 10 সেমি
৩৫
একটি বেলনের আয়তন 2000 সেমি³ — উচ্চতা 10 সেমি হলে ব্যাসার্ধ কত?
▼
V = πr²h
১
22/7 × r² × 10 = 2000 → r² = 2000×7/(22×10) = 14000/220 ≈ 63.6
২
r ≈ 7.98 ≈ 8 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ ≈ 8 সেমি
৩৬
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ 3 সেমি, উচ্চতা 21 সেমি — পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো।
▼
CSA = 2πrh
১
TSA = 2πr(r+h) = 2 × 22/7 × 3 × (3+21)
২
= 2 × 22/7 × 3 × 24 = 2 × 22 × 3 × 24/7 = 452.57 সেমি²
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতল ≈ 452.57 সেমি²
৩৭
একটি বেলনের পৃষ্ঠতল 616 সেমি², ব্যাসার্ধ 7 সেমি — উচ্চতা কত?
▼
V = πr²h
১
2 × 22/7 × 7 × (7+h) = 616 → 44(7+h) = 616
২
7+h = 14 → h = 7 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 7 সেমি
৩৮
একটি বেলনের আয়তন 770 সেমি³, ব্যাসার্ধ 7 সেমি — উচ্চতা কত?
▼
TSA = 2πr(r + h)
১
22/7 × 49 × h = 770 → 154h = 770
২
h = 5 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 5 সেমি
৩৯
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ 10 সেমি, উচ্চতা 7 সেমি — আয়তন কত?
▼
V = πr²h
১
V = 22/7 × 100 × 7 = 22 × 100 = 2200 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন = 2200 সেমি³
৪০
একটি বেলনের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতল 880 সেমি², ব্যাসার্ধ 10 সেমি — উচ্চতা কত?
▼
CSA = 2πrh
১
2 × 22/7 × 10 × h = 880
২
440h/7 = 880 → h = 14 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 14 সেমি
⭐ নতুন: ২ নম্বরের প্রশ্নোত্তর — পরীক্ষা টার্গেট
121
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ 7 সেমি, উচ্চতা 10 সেমি — আয়তন নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V = πr²h
1
V = 22/7 × 49 × 10 = 22 × 7 × 10 = 1540 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন = 1540 সেমি³
122
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ 5 সেমি, উচ্চতা 14 সেমি — বাঁকা পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
CSA = 2πrh
1
CSA = 2 × 22/7 × 5 × 14 = 2 × 22 × 5 × 2 = 440 সেমি²
✅ উত্তর
বাঁকা পৃষ্ঠতল = 440 সেমি²
123
একটি বেলনের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল 660 সেমি², ব্যাসার্ধ 7 সেমি — উচ্চতা কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
TSA = 2πr(h + r)
1
2 × 22/7 × 7 × (h+7) = 660
2
44(h+7) = 660 → h+7 = 15 → h = 8 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 8 সেমি
124
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ 3.5 সেমি, উচ্চতা 10 সেমি — সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
TSA = 2πr(h + r)
1
TSA = 2 × 22/7 × 3.5 × (10+3.5)
2
= 22 × 13.5 = 297 সেমি²
✅ উত্তর
সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল = 297 সেমি²
125
একটি বেলনের আয়তন 4620 সেমি³, ব্যাসার্ধ 14 সেমি — উচ্চতা কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
V = πr²h
1
22/7 × 196 × h = 4620
2
616h = 4620 → h = 7.5 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 7.5 সেমি
126
একটি বেলনের বাঁকা পৃষ্ঠতল 176 সেমি², ব্যাসার্ধ 4 সেমি — উচ্চতা নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
CSA = 2πrh
1
2 × 22/7 × 4 × h = 176
2
176h/7 = 176 → h = 7 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 7 সেমি
127
দুটি বেলনের ব্যাসার্ধের অনুপাত 2:3, উচ্চতা সমান — আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V = πr²h
1
V₁/V₂ = r₁²/r₂² = 4/9
2
আয়তনের অনুপাত = 4:9
✅ উত্তর
আয়তনের অনুপাত = 4:9
128
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ 10 সেমি, উচ্চতা 7 সেমি — বাঁকা পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
CSA = 2πrh
1
CSA = 2 × 22/7 × 10 × 7 = 2 × 22 × 10 = 440 সেমি²
✅ উত্তর
বাঁকা পৃষ্ঠতল = 440 সেমি²
129
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ 6 সেমি, উচ্চতা 21 সেমি — আয়তন ও বাঁকা পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V=πr²h, CSA=2πrh
1
V = 22/7×36×21 = 22×36×3 = 2376 সেমি³
2
CSA = 2×22/7×6×21 = 792 সেমি²
✅ উত্তর
আয়তন = 2376 সেমি³, CSA = 792 সেমি²
130
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে আয়তন কত গুণ হবে? ⭐ ২ নম্বর
▼
V = πr²h
1
V ∝ r²
2
(2r)² = 4r² → আয়তন 4 গুণ হবে
✅ উত্তর
আয়তন ৪ গুণ হবে
131
একটি বেলনের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল 1232 সেমি², উচ্চতা 14 সেমি — ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
TSA = 2πr(h + r)
1
2×22/7×r(14+r) = 1232
2
44r(14+r)/7 = 1232 → r(14+r) = 196
3
r² + 14r − 196 = 0 → r = 7 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 7 সেমি
132
একটি বেলনের ব্যাস 14 সেমি, উচ্চতা 20 সেমি — বাঁকা পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
CSA = 2πrh (r = d/2)
1
r = 7, CSA = 2×22/7×7×20 = 44×20 = 880 সেমি²
✅ উত্তর
বাঁকা পৃষ্ঠতল = 880 সেমি²
133
একটি বেলনাকার পাত্রের ব্যাসার্ধ 7 সেমি, উচ্চতা 5 সেমি — ধারণক্ষমতা (আয়তন) নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V = πr²h
1
V = 22/7×49×5 = 22×7×5 = 770 সেমি³
✅ উত্তর
ধারণক্ষমতা = 770 সেমি³
134
একটি বেলনের বাঁকা পৃষ্ঠতল 352 সেমি², উচ্চতা 8 সেমি — ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
CSA = 2πrh
1
2×22/7×r×8 = 352
2
352r/7 = 352 → r = 7 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 7 সেমি
135
দুটি বেলনের উচ্চতার অনুপাত 2:3, ব্যাসার্ধ সমান — বাঁকা পৃষ্ঠতলের অনুপাত কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
CSA = 2πrh
1
CSA ∝ h (r সমান)
2
অনুপাত = 2:3
✅ উত্তর
বাঁকা পৃষ্ঠতলের অনুপাত = 2:3
136
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ 21 সেমি, উচ্চতা 5 সেমি — সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
TSA = 2πr(h + r)
1
TSA = 2×22/7×21×(5+21) = 132×26 = 3432 সেমি²
✅ উত্তর
সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল = 3432 সেমি²
137
একটি বেলনের আয়তন 3080 সেমি³, উচ্চতা 10 সেমি — ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V = πr²h
1
22/7×r²×10 = 3080
2
220r²/7 = 3080 → r² = 98 → r ≈ 9.9 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ ≈ 9.9 সেমি
138
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ 7 সেমি, উচ্চতা 2 সেমি — সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
TSA = 2πr(h + r)
1
TSA = 2×22/7×7×(2+7) = 44×9 = 396 সেমি²
✅ উত্তর
সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল = 396 সেমি²
139
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ অর্ধেক ও উচ্চতা দ্বিগুণ করলে আয়তন কত গুণ হবে? ⭐ ২ নম্বর
▼
V = πr²h
1
নতুন V = π(r/2)²(2h) = πr²h/2
2
আয়তন ১/২ গুণ হবে
✅ উত্তর
আয়তন ১/২ গুণ হবে
140
একটি বেলনের বাঁকা পৃষ্ঠতল 528 সেমি², ব্যাসার্ধ 6 সেমি — উচ্চতা নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
CSA = 2πrh
1
2×22/7×6×h = 528
2
264h/7 = 528 → h = 528×7/264 = 14 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 14 সেমি
📝 বেলন — ৩ নম্বর প্রশ্ন
৩খ-১
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ 7 সেমি ও উচ্চতা 10 সেমি। বেলনের বক্রতল, মোট পৃষ্ঠতল ও আয়তন নির্ণয় করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
CSA=2πrh | TSA=2πr(h+r) | V=πr²h
১
বক্রতল = 2 × 22/7 × 7 × 10 = 440 সেমি²
২
মোট পৃষ্ঠতল = 2 × 22/7 × 7 × (10+7) = 748 সেমি²
৩
আয়তন = 22/7 × 49 × 10 = 1540 সেমি³
✅ উত্তর
বক্রতল = 440 সেমি² | মোট পৃষ্ঠতল = 748 সেমি² | আয়তন = 1540 সেমি³
৩খ-২
একটি বেলনাকার পাত্রের ব্যাসার্ধ 14 সেমি ও উচ্চতা 20 সেমি। বক্রতল, মোট পৃষ্ঠতল ও আয়তন নির্ণয় করো। পাত্রটি জলে ভরতে কত লিটার জল লাগবে? (1 লিটার = 1000 সেমি³) 📝 ৩ নম্বর
▼
CSA=2πrh | TSA=2πr(h+r) | V=πr²h
১
CSA = 2×22/7×14×20 = 1760 সেমি²
২
TSA = 2×22/7×14×(20+14) = 2992 সেমি²
৩
V = 22/7×196×20 = 12320 সেমি³ = 12.32 লিটার
✅ উত্তর
CSA = 1760 সেমি² | TSA = 2992 সেমি² | আয়তন = 12320 সেমি³ | জল = 12.32 লিটার
৩খ-৩
দুটি বেলনের ব্যাসার্ধের অনুপাত 2:3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5:3। তাদের আয়তনের অনুপাত ও বক্রতলের অনুপাত নির্ণয় করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
V=πr²h | CSA=2πrh
১
V₁/V₂ = (r₁/r₂)² × (h₁/h₂) = (2/3)² × (5/3) = 4/9 × 5/3 = 20:27
২
CSA₁/CSA₂ = (r₁h₁)/(r₂h₂) = (2×5)/(3×3) = 10:9
✅ উত্তর
আয়তনের অনুপাত = 20:27 | বক্রতলের অনুপাত = 10:9
গোলক (Sphere)
৪১
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 7 সেমি — আয়তন কত?
▼
V = (4/3)πr³
১
V = 4/3 × 22/7 × 343 = 4/3 × 22 × 49 = 4/3 × 1078
২
= 1437.33 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন ≈ 1437.33 সেমি³
৪২
একটি গোলকের পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো (r=14)।
▼
SA = 4πr²
১
= 4 × 22/7 × 196 = 4 × 22 × 28 = 2464 সেমি²
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতল = 2464 সেমি²
৪৩
একটি গোলকের আয়তন 1437 সেমি³ — ব্যাসার্ধ কত?
▼
r = ∛(3V / 4π)
১
4/3 × 22/7 × r³ = 1437 → r³ ≈ 343
২
r = 7 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 7 সেমি
৪৪
একটি গোলকের ব্যাস দ্বিগুণ করলে আয়তন কত গুণ হবে?
▼
SA = 4πr²
১
V ∝ r³, ব্যাস দ্বিগুণ → r দ্বিগুণ → (2r)³ = 8r³
২
আয়তন ৮ গুণ হবে
✅ উত্তর
আয়তন ৮ গুণ হবে
৪৫
একটি গোলকের পৃষ্ঠতল 616 সেমি² — ব্যাসার্ধ কত?
▼
V = (4/3)πr³
১
4 × 22/7 × r² = 616 → r² = 616 × 7/88 = 49
২
r = 7 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 7 সেমি
৪৬
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 10 সেমি — পৃষ্ঠতল কত?
▼
SA = 4πr²
১
SA = 4 × 22/7 × 100 = 8800/7 ≈ 1257.14 সেমি²
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতল ≈ 1257.14 সেমি²
৪৭
একটি গোলকের আয়তন 288π সেমি³ — ব্যাসার্ধ কত?
▼
V = (4/3)πr³
১
4/3 × π × r³ = 288π → r³ = 216
২
r = 6 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 6 সেমি
৪৮
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ অর্ধেক করলে আয়তন কত গুণ হবে?
▼
SA = 4πr²
১
(r/2)³ = r³/8
২
আয়তন ১/৮ গুণ হবে
✅ উত্তর
আয়তন ১/৮ গুণ হবে
৪৯
একটি গোলকের পৃষ্ঠতল 154 সেমি² — ব্যাসার্ধ কত?
▼
V = (4/3)πr³
১
4 × 22/7 × r² = 154 → r² = 154×7/88 = 12.25
২
r = 3.5 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 3.5 সেমি
৫০
একটি গোলকের আয়তন 523.6 সেমি³ — ব্যাসার্ধ কত?
▼
SA = 4πr²
১
4/3 × π × r³ = 523.6 → r³ = 523.6 × 3/(4π) ≈ 125
২
r = 5 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 5 সেমি
৫১
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 21 সেমি — আয়তন কত?
▼
V = (4/3)πr³
১
V = 4/3 × 22/7 × 21³ = 4/3 × 22/7 × 9261
২
= 4/3 × 22 × 1323 = 4 × 22 × 441 = 38808 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন = 38808 সেমি³
৫২
একটি গোলকের পৃষ্ঠতল 1386 সেমি² — ব্যাসার্ধ কত?
▼
SA = 4πr²
১
4 × 22/7 × r² = 1386 → r² = 1386×7/88 = 110.25
২
r = 10.5 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 10.5 সেমি
৫৩
একটি গোলকের ব্যাস 14 সেমি — আয়তন কত?
▼
V = (4/3)πr³
১
r = 7 সেমি; V = 4/3 × 22/7 × 343 = 1437.33 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন ≈ 1437.33 সেমি³
৫৪
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 3 সেমি — পৃষ্ঠতল কত?
▼
SA = 4πr²
১
SA = 4 × 22/7 × 9 = 792/7 ≈ 113.14 সেমি²
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতল ≈ 113.14 সেমি²
৫৫
একটি গোলকের আয়তন 904.32 সেমি³ — ব্যাসার্ধ কত?
▼
V = (4/3)πr³
১
4/3 × 3.14 × r³ = 904.32 → r³ = 216
২
r = 6 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 6 সেমি
৫৬
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 5 সেমি — আয়তন কত?
▼
SA = 4πr²
১
V = 4/3 × 22/7 × 125 = 11000/21 ≈ 523.81 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন ≈ 523.81 সেমি³
৫৭
একটি গোলকের পৃষ্ঠতল 314 সেমি² — ব্যাসার্ধ কত? (π=3.14)
▼
V = (4/3)πr³
১
4 × 3.14 × r² = 314 → r² = 25
২
r = 5 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 5 সেমি
৫৮
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 8 সেমি — আয়তন কত?
▼
SA = 4πr²
১
V = 4/3 × 22/7 × 512 = 45056/21 ≈ 2145.52 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন ≈ 2145.52 সেমি³
৫৯
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 9 সেমি — পৃষ্ঠতল কত?
▼
V = (4/3)πr³
১
SA = 4 × 22/7 × 81 = 7128/7 ≈ 1018.28 সেমি²
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতল ≈ 1018.28 সেমি²
৬০
একটি গোলকের আয়তন 4188.79 সেমি³ — ব্যাসার্ধ কত?
▼
SA = 4πr²
১
4/3 × 3.14 × r³ = 4188.79 → r³ = 1000
২
r = 10 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 10 সেমি
⭐ নতুন: ২ নম্বরের প্রশ্নোত্তর — পরীক্ষা টার্গেট
141
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 6 সেমি — আয়তন ও পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V=4/3πr³, SA=4πr²
1
V = 4/3×22/7×216 = 904.32 সেমি³
2
SA = 4×22/7×36 = 452.57 সেমি²
✅ উত্তর
আয়তন ≈ 904.32 সেমি³, পৃষ্ঠতল ≈ 452.57 সেমি²
142
একটি গোলকের পৃষ্ঠতল 1386 সেমি² — ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
SA = 4πr²
1
4×22/7×r² = 1386
2
88r²/7 = 1386 → r² = 110.25 → r = 10.5 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 10.5 সেমি
143
একটি গোলকের আয়তন 38808 সেমি³ — ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V = 4/3πr³
1
4/3×22/7×r³ = 38808
2
88r³/21 = 38808 → r³ = 9261 → r = 21 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 21 সেমি
144
একটি গোলকের ব্যাস 21 সেমি — পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
SA = 4πr² (r = d/2)
1
r = 10.5, SA = 4×22/7×110.25 = 88×15.75 = 1386 সেমি²
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতল = 1386 সেমি²
145
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 5 সেমি — আয়তন নির্ণয় করো (π=22/7)। ⭐ ২ নম্বর
▼
V = 4/3πr³
1
V = 4/3×22/7×125 = 4/3×22×17.857 = 523.81 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন ≈ 523.81 সেমি³
146
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 3 গুণ বাড়ালে পৃষ্ঠতল কত গুণ হবে? ⭐ ২ নম্বর
▼
SA = 4πr²
1
SA ∝ r²
2
(3r)² = 9r² → পৃষ্ঠতল ৯ গুণ হবে
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতল ৯ গুণ হবে
147
একটি গোলকের পৃষ্ঠতল ও আয়তনের সংখ্যামান সমান — ব্যাসার্ধ কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
4πr² = 4/3πr³
1
4r² = 4r³/3
2
3 = r
3
ব্যাসার্ধ = 3 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 3 সেমি
148
একটি গোলকের আয়তন 4/3 π × 343 সেমি³ — পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V=4/3πr³ → r³=343 → r=7
1
r³ = 343 → r = 7 সেমি
2
SA = 4×22/7×49 = 616 সেমি²
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতল = 616 সেমি²
149
একটি গোলকের পৃষ্ঠতল 2464 সেমি² — আয়তন নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
SA=4πr², V=4/3πr³
1
4×22/7×r² = 2464 → r² = 196 → r = 14
2
V = 4/3×22/7×2744 ≈ 11498.67 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন ≈ 11498.67 সেমি³
150
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 9 সেমি — বাঁকা পৃষ্ঠতল ও আয়তন নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
SA=4πr², V=4/3πr³
1
SA = 4×22/7×81 ≈ 1018.29 সেমি²
2
V = 4/3×22/7×729 ≈ 3054.86 সেমি³
✅ উত্তর
SA ≈ 1018.29 সেমি², V ≈ 3054.86 সেমি³
151
দুটি গোলকের ব্যাসার্ধের অনুপাত 1:2 — আয়তনের অনুপাত কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
V = 4/3πr³
1
V ∝ r³
2
V₁:V₂ = 1³:2³ = 1:8
✅ উত্তর
আয়তনের অনুপাত = 1:8
152
একটি অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ 7 সেমি — সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
TSA = 3πr²
1
TSA = 3×22/7×49 = 3×22×7 = 462 সেমি²
✅ উত্তর
সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল = 462 সেমি²
153
একটি অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ 14 সেমি — আয়তন নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V = 2/3πr³
1
V = 2/3×22/7×2744 = 2/3×22×392 = 5749.33 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন ≈ 5749.33 সেমি³
154
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 2 গুণ বাড়ালে আয়তন কত গুণ হবে? ⭐ ২ নম্বর
▼
V = 4/3πr³
1
V ∝ r³
2
(2r)³ = 8r³ → আয়তন ৮ গুণ হবে
✅ উত্তর
আয়তন ৮ গুণ হবে
155
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 4.2 সেমি — পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
SA = 4πr²
1
SA = 4×22/7×17.64 = 88×17.64/7 = 221.76 সেমি²
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতল = 221.76 সেমি²
156
দুটি গোলকের পৃষ্ঠতলের অনুপাত 4:9 — ব্যাসার্ধের অনুপাত কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
SA = 4πr²
1
SA ∝ r²
2
r₁:r₂ = √4:√9 = 2:3
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধের অনুপাত = 2:3
157
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 10.5 সেমি — আয়তন নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V = 4/3πr³
1
V = 4/3×22/7×1157.625 ≈ 4851 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন ≈ 4851 সেমি³
158
একটি অর্ধগোলকের বাঁকা পৃষ্ঠতল 2464 সেমি² — ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
CSA (অর্ধগোলক) = 2πr²
1
2×22/7×r² = 2464
2
44r²/7 = 2464 → r² = 392 → r ≈ 19.8 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ ≈ 19.8 সেমি
159
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 8 সেমি — আয়তন ও পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V=4/3πr³, SA=4πr²
1
V ≈ 4/3×22/7×512 ≈ 2145.52 সেমি³
2
SA = 4×22/7×64 ≈ 804.57 সেমি²
✅ উত্তর
V ≈ 2145.52 সেমি³, SA ≈ 804.57 সেমি²
160
একটি গোলকের আয়তন 36π সেমি³ — ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V = 4/3πr³
1
4/3×π×r³ = 36π → r³ = 27
2
r = 3 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 3 সেমি
📝 গোলক — ৩ নম্বর প্রশ্ন
৩গ-১
একটি গোলকের পৃষ্ঠতল 616 সেমি²। গোলকের ব্যাসার্ধ ও আয়তন নির্ণয় করো। (π = 22/7) 📝 ৩ নম্বর
▼
SA = 4πr² | V = (4/3)πr³
১
4πr² = 616 → r² = 616×7/(4×22) = 49 → r = 7 সেমি
২
V = 4/3 × 22/7 × 343 = 1437⅓ সেমি³
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 7 সেমি | আয়তন = 1437⅓ সেমি³
৩গ-২
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 21 সেমি। পৃষ্ঠতল, আয়তন ও ব্যাস নির্ণয় করো। ব্যাসার্ধ অর্ধেক হলে পৃষ্ঠতল কত গুণ কমবে? 📝 ৩ নম্বর
▼
SA = 4πr² | V = (4/3)πr³
১
SA = 4×22/7×441 = 5544 সেমি²
২
V = 4/3×22/7×9261 = 38808 সেমি³
৩
ব্যাসার্ধ অর্ধেক হলে পৃষ্ঠতল (1/2)² = 1/4 গুণ হবে অর্থাৎ 4 গুণ কমবে
✅ উত্তর
SA = 5544 সেমি² | V = 38808 সেমি³ | ব্যাস = 42 সেমি | পৃষ্ঠতল 4 গুণ কমবে
৩গ-৩
একটি গোলকাকার লোহার গোলার ব্যাসার্ধ 14 সেমি। গোলার পৃষ্ঠতল ও আয়তন নির্ণয় করো। লোহার ঘনত্ব 8 গ্রাম/সেমি³ হলে গোলার ভর কত? 📝 ৩ নম্বর
▼
SA=4πr² | V=(4/3)πr³ | ভর = আয়তন × ঘনত্ব
১
SA = 4×22/7×196 = 2464 সেমি²
২
V = 4/3×22/7×2744 = 11498⅔ সেমি³
৩
ভর = 11498⅔ × 8 ≈ 91989 গ্রাম ≈ 91.99 কেজি
✅ উত্তর
SA = 2464 সেমি² | V ≈ 11499 সেমি³ | ভর ≈ 91.99 কেজি
শঙ্কু (Cone)
৬১
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 7 সেমি, উচ্চতা 24 সেমি — আয়তন কত?
▼
V = (1/3)πr²h
১
V = 1/3 × 22/7 × 49 × 24 = 1/3 × 22 × 7 × 24
২
= 1/3 × 3696 = 1232 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন = 1232 সেমি³
৬২
একটি শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 13 সেমি, ব্যাসার্ধ 5 সেমি — উচ্চতা কত?
▼
CSA = πrl, l = √(r² + h²)
১
13² = 5² + h² → 169 = 25 + h²
২
h² = 144 → h = 12 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 12 সেমি
৬৩
একটি শঙ্কুর আয়তন 154 সেমি³, ব্যাসার্ধ 7 সেমি — উচ্চতা কত?
▼
TSA = πr(r + l)
১
1/3 × 22/7 × 49 × h = 154 → 154h/3 = 154
২
h = 3 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 3 সেমি
৬৪
একটি শঙ্কুর পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো (r=7, l=25)।
▼
l = √(r² + h²)
১
= 22/7 × 7 × (7+25) = 22 × 32
২
= 704 সেমি²
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতল = 704 সেমি²
৬৫
একটি শঙ্কুর পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো (r=6, l=10)।
▼
V = (1/3)πr²h
১
= 22/7 × 6 × 10 = 1320/7 ≈ 188.57 সেমি²
✅ উত্তর
পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতল ≈ 188.57 সেমি²
৬৬
একটি শঙ্কুর আয়তন দ্বিগুণ করতে হলে উচ্চতা কত গুণ করতে হবে?
▼
CSA = πrl
১
V = 1/3 πr²h, আয়তন দ্বিগুণ মানে 2/3 πr²h
২
r অপরিবর্তিত → উচ্চতা ২ গুণ করতে হবে
✅ উত্তর
উচ্চতা ২ গুণ করতে হবে
৬৭
একটি শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 10 সেমি, ব্যাসার্ধ 6 সেমি — উচ্চতা কত?
▼
TSA = πr(r + l)
১
10² = 6² + h² → 100 = 36 + h²
২
h² = 64 → h = 8 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 8 সেমি
৬৮
একটি শঙ্কুর আয়তন 1000 সেমি³, ব্যাসার্ধ 10 সেমি — উচ্চতা কত?
▼
V = (1/3)πr²h
১
1/3 × 22/7 × 100 × h = 1000
২
h = 1000 × 3 × 7 / (22 × 100) = 21000/2200 ≈ 9.55 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা ≈ 9.55 সেমি
৬৯
একটি শঙ্কুর পৃষ্ঠতল 550 সেমি², ব্যাসার্ধ 7 সেমি — তির্যক উচ্চতা কত?
▼
l = √(r² + h²)
১
22/7 × 7 × (7 + l) = 550 → 22(7+l) = 550
২
7 + l = 25 → l = 18 সেমি
✅ উত্তর
তির্যক উচ্চতা = 18 সেমি
৭০
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে আয়তন কত গুণ হবে?
▼
V = (1/3)πr²h
১
V ∝ r², (2r)² = 4r²
২
আয়তন ৪ গুণ হবে
✅ উত্তর
আয়তন ৪ গুণ হবে
৭১
একটি শঙ্কুর উচ্চতা 12 সেমি, ব্যাসার্ধ 5 সেমি — তির্যক উচ্চতা কত?
▼
CSA = πrl
১
l = √(r²+h²) = √(25+144) = √169
২
l = 13 সেমি
✅ উত্তর
তির্যক উচ্চতা = 13 সেমি
৭২
একটি শঙ্কুর পৃষ্ঠতল 308 সেমি² — ব্যাসার্ধ 7 সেমি হলে l কত?
▼
TSA = πr(r + l)
১
22/7 × 7 × (7+l) = 308 → 22(7+l) = 308
২
7+l = 14 → l = 7 সেমি
✅ উত্তর
তির্যক উচ্চতা = 7 সেমি
৭৩
একটি শঙ্কুর আয়তন 616 সেমি³ — ব্যাসার্ধ 7 সেমি হলে উচ্চতা কত?
▼
V = (1/3)πr²h
১
1/3 × 22/7 × 49 × h = 616 → 154h/3 = 616
২
h = 616×3/154 = 12 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 12 সেমি
৭৪
একটি শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 25 সেমি, উচ্চতা 24 সেমি — ব্যাসার্ধ কত?
▼
l = √(r² + h²)
১
25² = r² + 24² → 625 = r² + 576
২
r² = 49 → r = 7 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 7 সেমি
৭৫
একটি শঙ্কুর পৃষ্ঠতল 220 সেমি² — ব্যাসার্ধ 5 সেমি হলে l কত?
▼
V = (1/3)πr²h
১
22/7 × 5 × (5+l) = 220 → 110(5+l)/7 = 220
২
5+l = 14 → l = 9 সেমি
✅ উত্তর
তির্যক উচ্চতা = 9 সেমি
৭৬
একটি শঙ্কুর আয়তন 500 সেমি³ — উচ্চতা 10 সেমি হলে ব্যাসার্ধ কত? (π≈3.14)
▼
CSA = πrl
১
1/3 × 3.14 × r² × 10 = 500 → r² = 500×3/(3.14×10) ≈ 47.77
২
r ≈ 6.91 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ ≈ 6.91 সেমি
৭৭
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 3 সেমি, উচ্চতা 4 সেমি — আয়তন কত?
▼
TSA = πr(r + l)
১
V = 1/3 × 22/7 × 9 × 4 = 264/7 ≈ 37.71 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন ≈ 37.71 সেমি³
৭৮
একটি শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 17 সেমি, ব্যাসার্ধ 8 সেমি — উচ্চতা কত?
▼
V = (1/3)πr²h
১
17² = 8² + h² → 289 = 64 + h²
২
h² = 225 → h = 15 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 15 সেমি
৭৯
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 6 সেমি, উচ্চতা 8 সেমি — পৃষ্ঠতল কত?
▼
l = √(r² + h²)
১
l = √(36+64) = √100 = 10 সেমি
২
TSA = πr(r+l) = 22/7 × 6 × 16 = 2112/7 ≈ 301.71 সেমি²
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতল ≈ 301.71 সেমি²
৮০
একটি শঙ্কুর আয়তন 462 সেমি³ — ব্যাসার্ধ 7 সেমি হলে উচ্চতা কত?
▼
V = (1/3)πr²h
১
1/3 × 22/7 × 49 × h = 462 → 154h/3 = 462
২
h = 462×3/154 = 9 সেমি
✅ উত্তর
উচ্চতা = 9 সেমি
⭐ নতুন: ২ নম্বরের প্রশ্নোত্তর — পরীক্ষা টার্গেট
161
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 7 সেমি, উচ্চতা 24 সেমি — তির্যক উচ্চতা ও বাঁকা পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
l=√(r²+h²), CSA=πrl
1
l = √(49+576) = √625 = 25 সেমি
2
CSA = 22/7×7×25 = 550 সেমি²
✅ উত্তর
তির্যক উচ্চতা = 25 সেমি, CSA = 550 সেমি²
162
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 5 সেমি, তির্যক উচ্চতা 13 সেমি — আয়তন নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
h=√(l²-r²), V=1/3πr²h
1
h = √(169-25) = √144 = 12 সেমি
2
V = 1/3×22/7×25×12 = 314.29 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন ≈ 314.29 সেমি³
163
একটি শঙ্কুর বাঁকা পৃষ্ঠতল 550 সেমি², ব্যাসার্ধ 7 সেমি — তির্যক উচ্চতা কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
CSA = πrl
1
22/7×7×l = 550
2
22l = 550 → l = 25 সেমি
✅ উত্তর
তির্যক উচ্চতা = 25 সেমি
164
একটি শঙ্কুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল 704 সেমি², ব্যাসার্ধ 8 সেমি — তির্যক উচ্চতা নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
TSA = πr(l + r)
1
22/7×8×(l+8) = 704
2
176(l+8)/7 = 704
3
l+8 = 28 → l = 20 সেমি
✅ উত্তর
তির্যক উচ্চতা = 20 সেমি
165
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 6 সেমি, উচ্চতা 8 সেমি — সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
l=√(r²+h²), TSA=πr(l+r)
1
l = √(36+64) = 10
2
TSA = 22/7×6×(10+6) = 22/7×6×16 = 301.71 সেমি²
✅ উত্তর
সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল ≈ 301.71 সেমি²
166
একটি শঙ্কুর আয়তন 1232 সেমি³, উচ্চতা 12 সেমি — ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V = 1/3πr²h
1
1/3×22/7×r²×12 = 1232
2
88r²/7 = 1232 → r² = 98 → r ≈ 9.9 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ ≈ 9.9 সেমি
167
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 14 সেমি, তির্যক উচ্চতা 25 সেমি — বাঁকা পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
CSA = πrl
1
CSA = 22/7×14×25 = 22×2×25 = 1100 সেমি²
✅ উত্তর
বাঁকা পৃষ্ঠতল = 1100 সেমি²
168
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 3 সেমি, উচ্চতা 4 সেমি — আয়তন নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V = 1/3πr²h
1
V = 1/3×22/7×9×4 = 37.71 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন ≈ 37.71 সেমি³
169
একটি শঙ্কুর উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের অনুপাত 4:3, আয়তন 2200 সেমি³ — ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V = 1/3πr²h (h=4k, r=3k)
1
1/3×22/7×9k²×4k = 2200
2
264k³/7 = 2200 → k³ = 58.33 → k ≈ 3.88
3
r = 3k ≈ 11.64 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ ≈ 11.64 সেমি
170
একটি শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 10 সেমি, ব্যাসার্ধ 6 সেমি — উচ্চতা ও বাঁকা পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
h=√(l²-r²), CSA=πrl
1
h = √(100-36) = √64 = 8 সেমি
2
CSA = 22/7×6×10 = 188.57 সেমি²
✅ উত্তর
উচ্চতা = 8 সেমি, CSA ≈ 188.57 সেমি²
171
দুটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধের অনুপাত 1:2, উচ্চতা সমান — আয়তনের অনুপাত কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
V = 1/3πr²h
1
V ∝ r²
2
V₁:V₂ = 1²:2² = 1:4
✅ উত্তর
আয়তনের অনুপাত = 1:4
172
একটি শঙ্কুর বাঁকা পৃষ্ঠতল 3850 সেমি², তির্যক উচ্চতা 25 সেমি — ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
CSA = πrl
1
22/7×r×25 = 3850
2
550r/7 = 3850 → r = 3850×7/550 = 49 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 49 সেমি
173
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 21 সেমি, উচ্চতা 20 সেমি — আয়তন নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V = 1/3πr²h
1
V = 1/3×22/7×441×20 = 1/3×22×63×20 = 9240 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন = 9240 সেমি³
174
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 7 সেমি, উচ্চতা 24 সেমি — আয়তন নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V = 1/3πr²h
1
V = 1/3×22/7×49×24 = 1/3×22×7×24 = 1232 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন = 1232 সেমি³
175
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ ও উচ্চতা উভয়ই দ্বিগুণ করলে আয়তন কত গুণ হবে? ⭐ ২ নম্বর
▼
V = 1/3πr²h
1
নতুন V = 1/3π(2r)²(2h) = 8×1/3πr²h
2
আয়তন ৮ গুণ হবে
✅ উত্তর
আয়তন ৮ গুণ হবে
176
একটি শঙ্কুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল 1155 সেমি², তির্যক উচ্চতা 20 সেমি — ব্যাসার্ধ কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
TSA = πr(l + r)
1
22/7×r×(20+r) = 1155
2
22r(20+r)/7 = 1155 → r(20+r) = 367.5
3
r² + 20r − 367.5 = 0 → r ≈ 10.5 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ ≈ 10.5 সেমি
177
একটি শঙ্কুর উচ্চতা 15 সেমি, তির্যক উচ্চতা 17 সেমি — ব্যাসার্ধ ও বাঁকা পৃষ্ঠতল নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
r=√(l²-h²), CSA=πrl
1
r = √(289-225) = √64 = 8 সেমি
2
CSA = 22/7×8×17 = 427.43 সেমি²
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 8 সেমি, CSA ≈ 427.43 সেমি²
178
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 10.5 সেমি, উচ্চতা 14 সেমি — আয়তন নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V = 1/3πr²h
1
V = 1/3×22/7×110.25×14 = 1/3×22×15.75×14 = 1617 সেমি³
✅ উত্তর
আয়তন = 1617 সেমি³
179
একটি শঙ্কুর বাঁকা পৃষ্ঠতল ও ভিত্তির ক্ষেত্রফলের অনুপাত 5:3 — তির্যক উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের অনুপাত কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
CSA/Base = πrl/πr² = l/r
1
l/r = 5/3
2
l:r = 5:3
✅ উত্তর
তির্যক উচ্চতা : ব্যাসার্ধ = 5:3
180
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 12 সেমি, উচ্চতা 5 সেমি — সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল ও আয়তন নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
l=√(r²+h²), TSA=πr(l+r), V=1/3πr²h
1
l = √(144+25) = 13
2
TSA = 22/7×12×25 ≈ 942.86 সেমি²
3
V = 1/3×22/7×144×5 ≈ 754.29 সেমি³
✅ উত্তর
TSA ≈ 942.86 সেমি², V ≈ 754.29 সেমি³
📝 শঙ্কু — ৩ নম্বর প্রশ্ন
৩ঘ-১
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 7 সেমি ও তির্যক উচ্চতা 25 সেমি। লম্ব উচ্চতা, বক্রতল, মোট পৃষ্ঠতল ও আয়তন নির্ণয় করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
h=√(l²-r²) | CSA=πrl | TSA=πr(l+r) | V=⅓πr²h
১
h = √(625−49) = √576 = 24 সেমি
২
বক্রতল = 22/7 × 7 × 25 = 550 সেমি²
৩
মোট পৃষ্ঠতল = 22/7×7×(25+7) = 704 সেমি²
৪
আয়তন = ⅓×22/7×49×24 = 1232 সেমি³
✅ উত্তর
h = 24 সেমি | বক্রতল = 550 সেমি² | TSA = 704 সেমি² | আয়তন = 1232 সেমি³
৩ঘ-২
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 14 সেমি ও উচ্চতা 48 সেমি। তির্যক উচ্চতা, বক্রতল, মোট পৃষ্ঠতল ও আয়তন নির্ণয় করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
l=√(r²+h²) | CSA=πrl | TSA=πr(l+r) | V=⅓πr²h
১
l = √(196+2304) = √2500 = 50 সেমি
২
CSA = 22/7×14×50 = 2200 সেমি²
৩
TSA = 22/7×14×(50+14) = 2816 সেমি²
৪
V = ⅓×22/7×196×48 = 9856 সেমি³
✅ উত্তর
l = 50 সেমি | CSA = 2200 সেমি² | TSA = 2816 সেমি² | V = 9856 সেমি³
৩ঘ-৩
একটি শঙ্কুর বক্রতল 550 সেমি² ও তির্যক উচ্চতা 25 সেমি। ব্যাসার্ধ, লম্ব উচ্চতা ও আয়তন নির্ণয় করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
CSA=πrl | h=√(l²-r²) | V=⅓πr²h
১
πrl = 550 → 22/7×r×25 = 550 → r = 550×7/(22×25) = 7 সেমি
২
h = √(625−49) = √576 = 24 সেমি
৩
V = ⅓×22/7×49×24 = 1232 সেমি³
✅ উত্তর
r = 7 সেমি | h = 24 সেমি | V = 1232 সেমি³
মিশ্র কঠিন (Mixed Solid)
৮১
একটি বেলনের ভিতরে একটি গোলক বসানো — বেলনের উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।
▼
V_বেলন = πr²h, V_শঙ্কু = (1/3)πr²h
১
গোলক বেলনে বসলে: বেলনের ব্যাসার্ধ = গোলকের ব্যাসার্ধ (r)
২
বেলনের উচ্চতা = গোলকের ব্যাস = 2r
✅ উত্তর
বেলনের r = গোলকের r; উচ্চতা = 2r
৮২
একটি ঘনআয়ত (10×6×4 সেমি) গলিয়ে একটি গোলক তৈরি — ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।
▼
V_গোলক = (4/3)πr³ = V_বেলন
২
4/3 × 22/7 × r³ = 240 → r³ = 240×21/88 = 57.27
৩
r ≈ 3.86 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ ≈ 3.86 সেমি
৮৩
একটি শঙ্কু ও বেলনের আয়তন সমান (একই r) — তাদের উচ্চতার অনুপাত কত?
▼
V_শঙ্কু × n = V_বেলন
১
শঙ্কু: 1/3 πr²H = বেলন: πr²h
২
H/h = 3 → H:h = 3:1
✅ উত্তর
শঙ্কু:বেলনের উচ্চতা = 3:1
৮৪
R ব্যাসার্ধের গোলক গলিয়ে 8টি ছোট গোলক তৈরি — প্রত্যেকটির ব্যাসার্ধ কত?
▼
SA_গোলক = 4πr²
১
8 × 4/3 πr³ = 4/3 πR³ → 8r³ = R³
২
r = R/2
✅ উত্তর
প্রতিটির ব্যাসার্ধ = R/2
৮৫
একটি বেলন (r=7, h=6) গলিয়ে একটি শঙ্কু (r=7) তৈরি — শঙ্কুর উচ্চতা কত?
▼
V_বড় = n × V_ছোট
১
বেলনের আয়তন = πr²h = π×49×6 = 294π
২
শঙ্কু: 1/3 × π × 49 × H = 294π → H = 294×3/49 = 18 সেমি
✅ উত্তর
শঙ্কুর উচ্চতা = 18 সেমি
৮৬
শঙ্কু ও গোলকের আয়তন সমান (r=7 উভয়ের) — শঙ্কুর উচ্চতা কত?
▼
V_ঘনআয়ত = V_গোলক
১
1/3 πr²h = 4/3 πr³ → h = 4r
২
h = 4 × 7 = 28 সেমি
✅ উত্তর
শঙ্কুর উচ্চতা = 28 সেমি
৮৭
একটি ঘনআয়ত (l=10, b=7, h=6) গলিয়ে বেলন (r=5) তৈরি — উচ্চতা কত?
▼
V_বেলন = V_শঙ্কু + V_গোলক
১
আয়তন = 10×7×6 = 420 সেমি³
২
22/7 × 25 × h = 420 → h = 420×7/(22×25) = 2940/550 ≈ 5.35 সেমি
✅ উত্তর
বেলনের উচ্চতা ≈ 5.35 সেমি
৮৮
R ব্যাসার্ধের গোলক গলিয়ে r ব্যাসার্ধের শঙ্কু (h=H) তৈরি — সম্পর্ক নির্ণয় করো।
▼
πr(r + l) = 2πr(r + h)
১
4/3 πR³ = 1/3 πr²H
২
4R³ = r²H
✅ উত্তর
4R³ = r²H
৮৯
বেলন (r=7, h=10) থেকে শঙ্কু (r=7, h=10) বাদ দিলে অবশিষ্ট আয়তন কত?
▼
nV_ছোট = V_বড়
১
বেলন: π×49×10 = 490π; শঙ্কু: 1/3×π×49×10 = 490π/3
২
পার্থক্য = 490π - 490π/3 = 980π/3 = 980×22/21 ≈ 1026.67 সেমি³
✅ উত্তর
অবশিষ্ট আয়তন ≈ 1026.67 সেমি³
৯০
একটি ঘনআয়ত (6×6×6) গলিয়ে গোলক তৈরি — পৃষ্ঠতল কত?
▼
V_ঘনআয়ত = V_গোলক → SA = 4πr²
১
আয়তন = 216; 4/3 × 22/7 × r³ = 216 → r³ = 216×21/88 = 51.54 → r ≈ 3.73
২
SA = 4 × 22/7 × 13.91 ≈ 174.7 সেমি²
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতল ≈ 174.7 সেমি²
৯১
শঙ্কু ও বেলনের পৃষ্ঠতল সমান (একই r) — সম্পর্ক নির্ণয় করো।
▼
πr(r+l) = 2πr(r+h)
১
πr(r+l) = 2πr(r+h)
২
r + l = 2(r+h) → l = r + 2h
✅ উত্তর
l = r + 2h
৯২
R ব্যাসার্ধের গোলক গলিয়ে 27টি ছোট গোলক — প্রতিটির ব্যাসার্ধ কত?
▼
n × (4/3)πr³ = (4/3)πR³
১
27 × 4/3 πr³ = 4/3 πR³ → 27r³ = R³
২
r = R/3
✅ উত্তর
প্রতিটির ব্যাসার্ধ = R/3
৯৩
বেলন (r=7, h=9) গলিয়ে 3টি শঙ্কু (r=7) তৈরি — প্রতিটির উচ্চতা কত?
▼
V_বেলন = n × V_শঙ্কু
১
বেলনের আয়তন = π×49×9 = 441π
২
3 × 1/3 × π × 49 × H = 441π → 49H = 441 → H = 9 সেমি
✅ উত্তর
প্রতিটি শঙ্কুর উচ্চতা = 9 সেমি
৯৪
শঙ্কু (r=6, h=8) গলিয়ে গোলক তৈরি — ব্যাসার্ধ কত?
▼
V_শঙ্কু = V_গোলক
১
শঙ্কুর আয়তন = 1/3 × π × 36 × 8 = 96π
২
4/3 πR³ = 96π → R³ = 72 → R ≈ 4.16 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ ≈ 4.16 সেমি
৯৫
ঘনআয়ত (l=14, b=11, h=9) গলিয়ে শঙ্কু (r=7) তৈরি — উচ্চতা কত?
▼
V_ঘনআয়ত = V_শঙ্কু
১
আয়তন = 14×11×9 = 1386 সেমি³
২
1/3 × 22/7 × 49 × H = 1386 → 154H/3 = 1386 → H = 27 সেমি
✅ উত্তর
শঙ্কুর উচ্চতা = 27 সেমি
৯৬
বেলন ও গোলকের আয়তন সমান (r=7 উভয়ের) — বেলনের উচ্চতা কত?
▼
πr²h = (4/3)πr³ → h = 4r/3
১
πr²h = 4/3 πr³ → h = 4r/3
২
h = 4×7/3 = 28/3 ≈ 9.33 সেমি
✅ উত্তর
বেলনের উচ্চতা = 28/3 সেমি
৯৭
শঙ্কু ও গোলকের পৃষ্ঠতল সমান (r=7 উভয়ের) — সম্পর্ক নির্ণয় করো।
▼
πr(r+l) = 4πr² → l = 3r
১
πr(r+l) = 4πr² → r+l = 4r
২
l = 3r
✅ উত্তর
শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা l = 3r
৯৮
ঘনআয়ত (8×8×8) গলিয়ে বেলন (h=8) তৈরি — ব্যাসার্ধ কত?
▼
V_ঘনআয়ত = V_বেলন → πr²h = a³
১
আয়তন = 512 সেমি³; 22/7 × r² × 8 = 512
২
r² = 512×7/(22×8) = 3584/176 ≈ 20.36 → r ≈ 4.51 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ ≈ 4.51 সেমি
৯৯
R ব্যাসার্ধের গোলক গলিয়ে r ব্যাসার্ধের বেলন (h=H) তৈরি — উচ্চতা নির্ণয় করো।
▼
H = 4R³ / (3r²)
১
4/3 πR³ = πr²H
২
H = 4R³ / (3r²)
✅ উত্তর
H = 4R³/(3r²)
১০০
শঙ্কু (r=6, h=8) গলিয়ে 2টি সমান গোলক তৈরি — প্রতিটির ব্যাসার্ধ কত?
▼
n × V_গোলক = V_শঙ্কু
১
শঙ্কুর আয়তন = 1/3 × π × 36 × 8 = 96π
২
2 × 4/3 × π × r³ = 96π → r³ = 36 → r = ∛36 ≈ 3.30 সেমি
✅ উত্তর
প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ ≈ 3.30 সেমি
⭐ নতুন: ২ নম্বরের প্রশ্নোত্তর — পরীক্ষা টার্গেট
181
একটি বেলনের উপরে একটি শঙ্কু আছে। বেলনের ব্যাসার্ধ 7 সেমি, উচ্চতা 10 সেমি। শঙ্কুর উচ্চতা 6 সেমি — মোট আয়তন নির্ণয় করো। ⭐ ২ নম্বর
▼
V = πr²h + 1/3πr²H
1
V(বেলন) = 22/7×49×10 = 1540 সেমি³
2
V(শঙ্কু) = 1/3×22/7×49×6 = 308 সেমি³
3
মোট = 1848 সেমি³
✅ উত্তর
মোট আয়তন = 1848 সেমি³
182
একটি গোলক গলিয়ে একটি বেলন তৈরি হলো। গোলকের ব্যাসার্ধ 9 সেমি, বেলনের ব্যাসার্ধ 6 সেমি — বেলনের উচ্চতা কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
4/3πR³ = πr²h
1
4/3×729 = 36×h
2
972 = 36h → h = 27 সেমি
✅ উত্তর
বেলনের উচ্চতা = 27 সেমি
183
একটি শঙ্কু গলিয়ে একটি গোলক তৈরি হলো। শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 6 সেমি, উচ্চতা 9 সেমি — গোলকের ব্যাসার্ধ কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
1/3πr²h = 4/3πR³
1
r²h = 4R³
2
36×9 = 4R³ → R³ = 81 → R ≈ 4.33 সেমি
✅ উত্তর
গোলকের ব্যাসার্ধ = 3 সেমি
184
একটি বেলন ও একটি শঙ্কুর ভিত্তি সমান ও উচ্চতা সমান — আয়তনের অনুপাত কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
V(বেলন)/V(শঙ্কু) = πr²h / (1/3πr²h)
1
V(বেলন):V(শঙ্কু) = 1 : 1/3 = 3:1
✅ উত্তর
আয়তনের অনুপাত = 3:1
185
একটি গোলকের পৃষ্ঠতল একটি বেলনের বাঁকা পৃষ্ঠতলের সমান। গোলকের ব্যাসার্ধ 7 সেমি, বেলনের উচ্চতা 4 সেমি — বেলনের ব্যাসার্ধ কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
4πR² = 2πrh
1
4×49 = 2×r×4
2
196 = 8r → r = 24.5 সেমি
✅ উত্তর
বেলনের ব্যাসার্ধ = 24.5 সেমি
186
একটি বেলন থেকে একটি শঙ্কু কেটে নেওয়া হলো (ভিত্তি ও উচ্চতা সমান)। অবশিষ্ট অংশের আয়তন কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
বেলন − শঙ্কু = 2/3 πr²h
1
V = πr²h − 1/3πr²h = 2/3πr²h
2
উদাহরণ: r=7, h=9 → V = 2/3×22/7×49×9 = 924 সেমি³
✅ উত্তর
অবশিষ্ট আয়তন = 2/3 πr²h
187
একটি বেলনের উপর একটি অর্ধগোলক স্থাপিত। বেলনের ব্যাসার্ধ 7 সেমি, উচ্চতা 13 সেমি — মোট বাঁকা পৃষ্ঠতল কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
CSA = 2πrh + 2πr²
1
বেলনের CSA = 2×22/7×7×13 = 572 সেমি²
2
অর্ধগোলকের CSA = 2×22/7×49 = 308 সেমি²
3
মোট = 880 সেমি²
✅ উত্তর
মোট বাঁকা পৃষ্ঠতল = 880 সেমি²
188
একটি ঘনকের মধ্যে সর্ববৃহৎ গোলক রাখা হলো। ঘনকের প্রান্ত 14 সেমি — গোলকের আয়তন কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
গোলকের ব্যাস = ঘনকের প্রান্ত → r = 7
1
r = 14/2 = 7 সেমি
2
V = 4/3×22/7×343 ≈ 1437.33 সেমি³
✅ উত্তর
গোলকের আয়তন ≈ 1437.33 সেমি³
189
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ ও উচ্চতা সমান একটি শঙ্কু বেলনের মধ্যে ঢোকানো হলো। শঙ্কুর বাইরে অবশিষ্ট আয়তন কত? (r=7, h=6) ⭐ ২ নম্বর
▼
বেলন − শঙ্কু
1
বেলন V = 22/7×49×6 = 924 সেমি³
2
শঙ্কু V = 1/3×924 = 308 সেমি³
3
বাকি = 924−308 = 616 সেমি³
✅ উত্তর
অবশিষ্ট আয়তন = 616 সেমি³
190
একটি গোলক ও বেলনের আয়তন সমান। গোলকের ব্যাসার্ধ 6 সেমি, বেলনের ব্যাসার্ধ 4 সেমি — বেলনের উচ্চতা কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
4/3πR³ = πr²h
1
4/3×216 = 16h
2
288 = 16h → h = 18 সেমি
✅ উত্তর
বেলনের উচ্চতা = 18 সেমি
191
একটি বেলনের ভেতরে সর্ববৃহৎ শঙ্কু। বেলনের ব্যাসার্ধ 7 সেমি, উচ্চতা 12 সেমি — শঙ্কুর আয়তন কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
V(শঙ্কু) = 1/3πr²h
1
V = 1/3×22/7×49×12 = 616 সেমি³
✅ উত্তর
শঙ্কুর আয়তন = 616 সেমি³
192
একটি শঙ্কুর উপর একটি গোলার্ধ। ব্যাসার্ধ 6 সেমি, শঙ্কুর উচ্চতা 8 সেমি — মোট আয়তন কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
V = 1/3πr²h + 2/3πr³
1
শঙ্কু V = 1/3×22/7×36×8 ≈ 301.71 সেমি³
2
অর্ধগোলক V = 2/3×22/7×216 ≈ 452.57 সেমি³
3
মোট ≈ 754.28 সেমি³
✅ উত্তর
মোট আয়তন ≈ 754.28 সেমি³
193
একটি কঠিন বেলন থেকে একটি শঙ্কু কেটে নেওয়া হলো। উভয়ের ব্যাসার্ধ 7 সেমি, উচ্চতা 24 সেমি — অবশিষ্টের আয়তন কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
বেলন V − শঙ্কু V
1
বেলন V = 22/7×49×24 = 3696 সেমি³
2
শঙ্কু V = 1/3×3696 = 1232 সেমি³
3
বাকি = 2464 সেমি³
✅ উত্তর
অবশিষ্ট আয়তন = 2464 সেমি³
194
একটি বেলনাকার পাত্র সম্পূর্ণ পানিতে ভরা (r=7, h=20)। একটি গোলক (r=7) ডোবানো হলে কত পানি넘চে পড়বে? ⭐ ২ নম্বর
▼
উপচানো পানি = গোলকের আয়তন
1
V(গোলক) = 4/3×22/7×343 ≈ 1437.33 সেমি³
✅ উত্তর
উপচানো পানি ≈ 1437.33 সেমি³
195
একটি গোলক গলিয়ে 3টি ছোট গোলক তৈরি হলো, প্রতিটির ব্যাসার্ধ 3 সেমি — বড় গোলকের ব্যাসার্ধ কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
4/3πR³ = 3 × 4/3πr³
1
R³ = 3×27 = 81
2
R = ∛81 ≈ 4.33 সেমি
✅ উত্তর
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ ≈ 4.33 সেমি
196
একটি বেলন ও একটি গোলার্ধের মোট বাঁকা পৃষ্ঠতল। বেলনের r=7, h=8 — মোট বাঁকা পৃষ্ঠতল কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
CSA(বেলন) + CSA(অর্ধগোলক)
1
বেলন CSA = 2×22/7×7×8 = 352 সেমি²
2
অর্ধগোলক CSA = 2×22/7×49 = 308 সেমি²
3
মোট = 660 সেমি²
✅ উত্তর
মোট বাঁকা পৃষ্ঠতল = 660 সেমি²
197
একটি ঘনকের মধ্যে সর্ববৃহৎ বেলন রাখা হলো। ঘনকের প্রান্ত 10 সেমি — বেলনের আয়তন কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
বেলনের r = প্রান্ত/2, h = প্রান্ত
1
r=5, h=10
2
V = 22/7×25×10 ≈ 785.71 সেমি³
✅ উত্তর
বেলনের আয়তন ≈ 785.71 সেমি³
198
একটি শঙ্কু গলিয়ে 27টি ছোট শঙ্কু তৈরি হলো। ছোট শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 2 সেমি, উচ্চতা 3 সেমি — বড় শঙ্কুর আয়তন কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
V(বড়) = 27 × V(ছোট)
1
V(ছোট) = 1/3×22/7×4×3 = 88/7 ≈ 12.57 সেমি³
2
V(বড়) = 27×12.57 ≈ 339.43 সেমি³
✅ উত্তর
বড় শঙ্কুর আয়তন ≈ 339.43 সেমি³
199
একটি বেলনাকার পাত্রে পানির উচ্চতা 10 সেমি। r=7 সেমি। একটি গোলক (r=3.5) ডোবানো হলে পানির নতুন উচ্চতা কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
V(গোলক) = πr²Δh
1
V(গোলক) = 4/3×22/7×42.875 ≈ 179.67 সেমি³
2
Δh = 179.67/(22/7×49) = 179.67/154 ≈ 1.17 সেমি
3
নতুন উচ্চতা ≈ 11.17 সেমি
✅ উত্তর
নতুন উচ্চতা ≈ 11.17 সেমি
200
একটি বেলনের মধ্যে সর্ববৃহৎ শঙ্কু ও গোলক রাখা হলো। বেলনের r=7, h=14 সেমি — শঙ্কু ও গোলকের আয়তনের অনুপাত কত? ⭐ ২ নম্বর
▼
গোলকের r = বেলনের r = 7
1
V(শঙ্কু) = 1/3×22/7×49×14 = 718.67 সেমি³
2
V(গোলক) = 4/3×22/7×343 = 1437.33 সেমি³
3
অনুপাত = 718.67:1437.33 ≈ 1:2
✅ উত্তর
শঙ্কু : গোলক = 1:2
📝 মিশ্র — ৩ নম্বর প্রশ্ন
৩ঙ-১
একটি বেলন (r=7 সেমি, h=12 সেমি) ও একটি গোলকের (r=7 সেমি) আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো। তাদের পৃষ্ঠতলের তুলনাও করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
V_বেলন=πr²h | V_গোলক=(4/3)πr³ | TSA_বেলন=2πr(h+r) | SA_গোলক=4πr²
১
V_বেলন = 22/7×49×12 = 1848 সেমি³
২
V_গোলক = 4/3×22/7×343 = 4312/3 সেমি³
৩
অনুপাত = 1848 : 4312/3 = 5544:4312 = 9:7
৪
TSA_বেলন = 44×19 = 836 সেমি² > SA_গোলক = 4×22/7×49 = 616 সেমি²
✅ উত্তর
আয়তনের অনুপাত = 9:7 | বেলনের পৃষ্ঠতল (836) > গোলকের পৃষ্ঠতল (616)
৩ঙ-২
একটি ঘনআয়তের (l=12, b=8, h=6 সেমি) ও একটি বেলনের (r=7, h=10 সেমি) আয়তনের পার্থক্য নির্ণয় করো। কোনটির পৃষ্ঠতল বেশি? 📝 ৩ নম্বর
▼
V_ঘনআয়ত=lbh | V_বেলন=πr²h | TSA_ঘনআয়ত=2(lb+bh+lh) | TSA_বেলন=2πr(h+r)
১
V_ঘনআয়ত = 12×8×6 = 576 সেমি³
২
V_বেলন = 22/7×49×10 = 1540 সেমি³
৩
পার্থক্য = 1540−576 = 964 সেমি³ (বেলনের বেশি)
৪
TSA_ঘনআয়ত = 2(96+48+72) = 432 সেমি² | TSA_বেলন = 44×17 = 748 সেমি² → বেলনের বেশি
✅ উত্তর
আয়তনের পার্থক্য = 964 সেমি³ | বেলনের পৃষ্ঠতল (748) > ঘনআয়তের পৃষ্ঠতল (432)
৩ঙ-৩
একটি শঙ্কুর (r=7, l=25 সেমি) ও একটি গোলকের (r=7 সেমি) বক্রতলের পার্থক্য ও আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
CSA_শঙ্কু=πrl | SA_গোলক=4πr² | V_শঙ্কু=⅓πr²h | V_গোলক=(4/3)πr³
১
CSA_শঙ্কু = 22/7×7×25 = 550 সেমি² | SA_গোলক = 4×22/7×49 = 616 সেমি²
২
পার্থক্য = 616−550 = 66 সেমি² (গোলকের বেশি)
৩
h_শঙ্কু = √(625−49) = 24 | V_শঙ্কু = ⅓×22/7×49×24 = 1232 | V_গোলক = 4312/3
৪
অনুপাত = 1232 : 4312/3 = 3696:4312 = 3:3.5 ≈ 6:7
✅ উত্তর
পৃষ্ঠতলের পার্থক্য = 66 সেমি² | আয়তনের অনুপাত = 6:7
৩ নম্বর প্রশ্ন (3 Marks)
📐 ত্রিভুজ (Triangle) — ৩ নম্বর
T1
একটি ত্রিভুজের ভূমি 12 সেমি এবং উচ্চতা 8 সেমি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো এবং দেখাও যে ভূমি দ্বিগুণ করলে ক্ষেত্রফল কত হয়। 📝 ৩ নম্বর
▼
A = ½ × ভূমি × উচ্চতা
১
A = ½ × 12 × 8 = 48 সেমি²
২
ভূমি দ্বিগুণ: A = ½ × 24 × 8 = 96 সেমি²
৩
ক্ষেত্রফল ২ গুণ হয়
✅ উত্তর
মূল ক্ষেত্রফল = 48 সেমি² | ভূমি দ্বিগুণে ক্ষেত্রফল = 96 সেমি²
T2
একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি সমকোণ-সংলগ্ন বাহু 6 সেমি ও 8 সেমি। অতিভুজ ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। পরিসীমাও বের করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
অতিভুজ² = a² + b² | A = ½ab | পরিসীমা = a+b+c
১
অতিভুজ = √(36+64) = √100 = 10 সেমি
২
ক্ষেত্রফল = ½ × 6 × 8 = 24 সেমি²
৩
পরিসীমা = 6+8+10 = 24 সেমি
✅ উত্তর
অতিভুজ = 10 সেমি | ক্ষেত্রফল = 24 সেমি² | পরিসীমা = 24 সেমি
T3
একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহু 14 সেমি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ও উচ্চতা নির্ণয় করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
A = (√3/4)a² | h = (√3/2)a
১
A = (√3/4) × 14² = (√3/4) × 196 = 49√3 ≈ 84.87 সেমি²
২
h = (√3/2) × 14 = 7√3 ≈ 12.12 সেমি
✅ উত্তর
ক্ষেত্রফল = 49√3 ≈ 84.87 সেমি² | উচ্চতা = 7√3 ≈ 12.12 সেমি
T4
একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু 13 সেমি, 14 সেমি ও 15 সেমি। হেরনের সূত্র ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)], s = (a+b+c)/2
১
s = (13+14+15)/2 = 21
২
A = √[21×8×7×6] = √7056 = 84 সেমি²
✅ উত্তর
ক্ষেত্রফল = 84 সেমি²
T5
একটি ত্রিভুজাকার জমির ক্ষেত্রফল 120 বর্গমিটার। ভূমি 15 মিটার হলে উচ্চতা কত? ঐ জমির পরিসীমা নির্ণয় করো যদি অন্য দুটি বাহু সমান এবং প্রতিটি 13 মিটার। 📝 ৩ নম্বর
▼
A = ½ × b × h | পরিসীমা = a+b+c
১
120 = ½ × 15 × h → h = 240/15 = 16 মিটার
২
পরিসীমা = 15 + 13 + 13 = 41 মিটার
✅ উত্তর
উচ্চতা = 16 মিটার | পরিসীমা = 41 মিটার
🔶 চতুর্ভুজ (Quadrilateral) — ৩ নম্বর
Q1
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 20 সেমি ও প্রস্থ 15 সেমি। ক্ষেত্রফল, পরিসীমা ও কর্ণ নির্ণয় করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
A = l×b | P = 2(l+b) | d = √(l²+b²)
১
ক্ষেত্রফল = 20×15 = 300 সেমি²
২
পরিসীমা = 2(20+15) = 70 সেমি
৩
কর্ণ = √(400+225) = √625 = 25 সেমি
✅ উত্তর
ক্ষেত্রফল = 300 সেমি² | পরিসীমা = 70 সেমি | কর্ণ = 25 সেমি
Q2
একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণ 10√2 সেমি। বর্গক্ষেত্রের বাহু, ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা নির্ণয় করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
d = a√2 | A = a² | P = 4a
১
a√2 = 10√2 → a = 10 সেমি
২
ক্ষেত্রফল = 10² = 100 সেমি²
৩
পরিসীমা = 4×10 = 40 সেমি
✅ উত্তর
বাহু = 10 সেমি | ক্ষেত্রফল = 100 সেমি² | পরিসীমা = 40 সেমি
Q3
একটি সামান্তরিকের ভূমি 18 সেমি, উচ্চতা 10 সেমি এবং একটি কোণের সংলগ্ন বাহু 12 সেমি। ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা নির্ণয় করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
A = ভূমি × উচ্চতা | P = 2(a+b)
১
ক্ষেত্রফল = 18 × 10 = 180 সেমি²
২
পরিসীমা = 2(18+12) = 2×30 = 60 সেমি
✅ উত্তর
ক্ষেত্রফল = 180 সেমি² | পরিসীমা = 60 সেমি
Q4
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটি 25 সেমি ও 15 সেমি, উচ্চতা 12 সেমি। ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো এবং দেখাও কোনো আয়তক্ষেত্রের সাথে তুলনা কীভাবে করা যায়। 📝 ৩ নম্বর
▼
A = ½ × (a+b) × h
১
A = ½ × (25+15) × 12 = ½ × 40 × 12 = 240 সেমি²
২
তুলনা: গড় প্রস্থ = (25+15)/2 = 20 → 20×12 = 240 সেমি² (আয়তক্ষেত্রের মতো)
✅ উত্তর
ক্ষেত্রফল = 240 সেমি²
Q5
একটি রম্বসের কর্ণ দুটি 16 সেমি ও 12 সেমি। রম্বসের ক্ষেত্রফল, পরিসীমা ও বাহু নির্ণয় করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
A = ½ × d₁ × d₂ | বাহু = √((d₁/2)²+(d₂/2)²)
১
ক্ষেত্রফল = ½ × 16 × 12 = 96 সেমি²
২
বাহু = √(8² + 6²) = √(64+36) = √100 = 10 সেমি
৩
পরিসীমা = 4×10 = 40 সেমি
✅ উত্তর
ক্ষেত্রফল = 96 সেমি² | বাহু = 10 সেমি | পরিসীমা = 40 সেমি
⭕ বৃত্ত (Circle) — ৩ নম্বর
C1
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সেমি। বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। ব্যাস দ্বিগুণ হলে ক্ষেত্রফল কত গুণ হবে? 📝 ৩ নম্বর
▼
পরিধি = 2πr | A = πr²
১
পরিধি = 2 × 22/7 × 7 = 44 সেমি
২
ক্ষেত্রফল = 22/7 × 49 = 154 সেমি²
৩
ব্যাস দ্বিগুণ → r দ্বিগুণ → ক্ষেত্রফল ৪ গুণ
✅ উত্তর
পরিধি = 44 সেমি | ক্ষেত্রফল = 154 সেমি² | ব্যাস দ্বিগুণে ক্ষেত্রফল ৪ গুণ
C2
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 616 সেমি²। বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও পরিধি নির্ণয় করো। (π = 22/7) 📝 ৩ নম্বর
▼
A = πr² → r = √(A/π) | পরিধি = 2πr
১
r² = 616 × 7/22 = 196 → r = 14 সেমি
২
পরিধি = 2 × 22/7 × 14 = 88 সেমি
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 14 সেমি | পরিধি = 88 সেমি
C3
একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল সংখ্যায় সমান। বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
2πr = πr² → 2r = r² → r = 2
১
2πr = πr² → 2 = r → r = 2 একক
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 2 একক
C4
দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 3:4। তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ও পরিধির অনুপাত নির্ণয় করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
A ∝ r² | পরিধি ∝ r
১
পরিধির অনুপাত = 3:4 (r এর সমান)
২
ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 3²:4² = 9:16
✅ উত্তর
পরিধির অনুপাত = 3:4 | ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 9:16
C5
একটি অর্ধবৃত্তের পরিধি 36 সেমি। অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। (π = 22/7) 📝 ৩ নম্বর
▼
অর্ধবৃত্তের পরিধি = πr + 2r | A = πr²/2
১
r(π+2) = 36 → r(22/7+2) = 36 → r × 36/7 = 36 → r = 7 সেমি
২
ক্ষেত্রফল = ½ × 22/7 × 49 = 77 সেমি²
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 7 সেমি | ক্ষেত্রফল = 77 সেমি²
🧊 ঘনবস্তু (3D Shapes) — ৩ নম্বর
S1
একটি বেলনের ব্যাসার্ধ 7 সেমি ও উচ্চতা 10 সেমি। বেলনের বক্রতল, মোট পৃষ্ঠতল ও আয়তন নির্ণয় করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
CSA=2πrh | TSA=2πr(h+r) | V=πr²h
১
বক্রতল = 2 × 22/7 × 7 × 10 = 440 সেমি²
২
মোট পৃষ্ঠতল = 2 × 22/7 × 7 × (10+7) = 748 সেমি²
৩
আয়তন = 22/7 × 49 × 10 = 1540 সেমি³
✅ উত্তর
বক্রতল = 440 সেমি² | মোট পৃষ্ঠতল = 748 সেমি² | আয়তন = 1540 সেমি³
S2
একটি গোলকের পৃষ্ঠতল 616 সেমি²। গোলকের ব্যাসার্ধ ও আয়তন নির্ণয় করো। (π = 22/7) 📝 ৩ নম্বর
▼
SA = 4πr² | V = (4/3)πr³
১
4 × 22/7 × r² = 616 → r² = 49 → r = 7 সেমি
২
V = 4/3 × 22/7 × 343 = 1437.33 সেমি³
✅ উত্তর
ব্যাসার্ধ = 7 সেমি | আয়তন ≈ 1437.33 সেমি³
S3
একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 7 সেমি ও তির্যক উচ্চতা 25 সেমি। শঙ্কুর লম্ব উচ্চতা, বক্রতল, মোট পৃষ্ঠতল ও আয়তন নির্ণয় করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
h=√(l²-r²) | CSA=πrl | TSA=πr(l+r) | V=⅓πr²h
১
h = √(625−49) = √576 = 24 সেমি
২
বক্রতল = 22/7 × 7 × 25 = 550 সেমি²
৩
মোট পৃষ্ঠতল = 22/7×7×(25+7) = 704 সেমি²
৪
আয়তন = ⅓ × 22/7 × 49 × 24 = 1232 সেমি³
✅ উত্তর
h = 24 সেমি | বক্রতল = 550 সেমি² | মোট পৃষ্ঠতল = 704 সেমি² | আয়তন = 1232 সেমি³
S4
একটি ঘনকের পৃষ্ঠতল 54 বর্গমিটার। ঘনকের বাহু, আয়তন ও কর্ণ নির্ণয় করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
SA=6a² | V=a³ | কর্ণ=a√3
১
6a² = 54 → a² = 9 → a = 3 মিটার
২
আয়তন = 3³ = 27 ঘনমিটার
৩
কর্ণ = 3√3 ≈ 5.196 মিটার
✅ উত্তর
বাহু = 3 মিটার | আয়তন = 27 ঘনমিটার | কর্ণ = 3√3 মিটার
S5
একটি বেলন (r=7, h=12) ও একটি গোলকের (r=7) আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো। তাদের পৃষ্ঠতলের তুলনাও করো। 📝 ৩ নম্বর
▼
V_বেলন = πr²h | V_গোলক = 4/3πr³
১
V_বেলন = 22/7 × 49 × 12 = 1848 সেমি³
২
V_গোলক = 4/3 × 22/7 × 343 ≈ 1437.33 সেমি³
৩
অনুপাত = 1848 : 1437.33 ≈ 9:7
✅ উত্তর
আয়তনের অনুপাত ≈ 9:7 | বেলনের পৃষ্ঠতল = 836 সেমি² > গোলকের = 616 সেমি²
বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্র (Square / Rectangle)
ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা
১
একটি বর্গক্ষেত্রের বাহু 8 cm হলে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
▼
ক্ষেত্রফল = বাহু²
১
ক্ষেত্রফল = 8² = 64 cm²
✅ উত্তর
ক্ষেত্রফল = 64 cm²
২
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 10 cm ও প্রস্থ 6 cm হলে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
▼
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
১
ক্ষেত্রফল = 10 × 6 = 60 cm²
✅ উত্তর
ক্ষেত্রফল = 60 cm²
৩
একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 40 cm হলে বাহু নির্ণয় করো।
▼
পরিসীমা = 4 × বাহু
১
বাহু = 40 ÷ 4 = 10 cm
✅ উত্তর
বাহু = 10 cm
৪
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 36 cm ও দৈর্ঘ্য 10 cm হলে প্রস্থ নির্ণয় করো।
▼
পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
১
36 = 2(10 + প্রস্থ) → 18 = 10 + প্রস্থ
২
প্রস্থ = 18 − 10 = 8 cm
✅ উত্তর
প্রস্থ = 8 cm
৫
একটি বর্গক্ষেত্রের বাহু 8 cm এবং একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 10 cm ও প্রস্থ 6 cm — দুটির ক্ষেত্রফলের পার্থক্য নির্ণয় করো।
▼
পার্থক্য = বর্গের ক্ষেত্রফল − আয়তের ক্ষেত্রফল
১
বর্গের ক্ষেত্রফল = 8² = 64 cm²
২
আয়তের ক্ষেত্রফল = 10 × 6 = 60 cm²
৩
পার্থক্য = 64 − 60 = 4 cm²
✅ উত্তর
ক্ষেত্রফলের পার্থক্য = 4 cm²
ত্রিভুজ (Triangle)
ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা
১
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি লেখো এবং ব্যাখ্যা করো।
▼
ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা
১
ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি (b) × উচ্চতা (h)
২
হেরনের সূত্র: s = (a+b+c)/2, ক্ষেত্রফল = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
✅ উত্তর
ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা
২
একটি ত্রিভুজের ভূমি 10 cm ও উচ্চতা 6 cm হলে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
▼
ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা
১
ক্ষেত্রফল = ½ × 10 × 6 = 30 cm²
✅ উত্তর
ক্ষেত্রফল = 30 cm²
৩
একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু 6 cm হলে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
▼
ক্ষেত্রফল = (√3/4) × বাহু²
১
ক্ষেত্রফল = (√3/4) × 6² = (√3/4) × 36 = 9√3
২
= 9 × 1.732 = 15.59 cm²
✅ উত্তর
ক্ষেত্রফল = 9√3 ≈ 15.59 cm²
৪
একটি ত্রিভুজের তিন বাহু 5 cm, 12 cm, 13 cm হলে হেরনের সূত্রে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
▼
s = (a+b+c)/2 , A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
১
s = (5+12+13)/2 = 30/2 = 15
২
A = √[15×10×3×2] = √900 = 30 cm²
✅ উত্তর
ক্ষেত্রফল = 30 cm²
৫
একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 30 cm হলে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
▼
পরিসীমা = 3 × বাহু (সমবাহু)
১
বাহু = 30 ÷ 3 = 10 cm
✅ উত্তর
প্রতিটি বাহু = 10 cm